1. מה זו פונקציה ריבועית?

2. הקודקוד וציר הסימטריה

3. חיתוך עם הצירים

4. הדיסקרימיננטה — כמה שורשים יש?

הביטוי שמתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה: Δ = b² − 4ac. רק הסימן שלו קובע בכמה נקודות הפרבולה חוצה את ציר x:

5. דוגמה פתורה — הפרבולה נבנית לנגד עיניכם

נחקור את הפרבולה y = x² − 4x + 3, כלומר a=1, b=−4, c=3. ההנפשה משמאל בונה שלב-שלב בדיוק לפי הצעדים — הצעד שמתבצע כרגע מודגש.

הזינו a=1, b=−4, c=3 בגרף האינטראקטיבי שלמעלה ותראו את אותן נקודות בדיוק.

הרעיון בתמונה אחת

קחו 4 > 2 (4 יושב מימין ל-2). עכשיו הכפילו את שניהם ב־(−1): הם משתקפים סביב האפס ל־−4 ו־−2. אבל −4 נמצא עכשיו משמאל ל־−2, כלומר −4 < −2. הסדר התהפך! זה בדיוק כלל ההיפוך.

דוגמה: פותרים −2x > 6

1. מבודדים את x÷ (−2)▼

   −2x > 6האי־שוויון המקורי

   (−2x) / (−2) ? 6 / (−2)מחלקים את שני האגפים ב‑(−2)

   x ? −3הסימן עוד לא נקבע
2. חילקנו בשלילי → הופכים את הסימן> הופך ל‑<▼

   חילקנו ב‑(−2)מספר שלילי

   > ⟶ <כלל ההיפוך

   x < −3הפתרון
3. בודקים שהפתרון נכון✓▼

   x = −4 (בתוך הפתרון)−4 < −3 ✓

   −2·(−4) = 8 , 8 > 6 ✓מקיים — מצוין

   x = 0 (מחוץ לפתרון)0 < −3 ✗

   −2·(0) = 0 , 0 > 6 ✗לא מקיים — בדיוק כמצופה

דוגמה פתורה 1 — משוואה: |x − 2| = 5

לחצו על כל צעד כדי לפתוח את ההצבה המלאה.

1. מזהים את המבנה|ביטוי| = 5▼

   |x − 2| = 5הביטוי בפנים הוא x−2

   5 ≥ 0בדיקה: האגף הימני אי‑שלילי

   יש פתרוןאילו היה שלילי — לא היה פתרון כלל
2. פותחים לשני מקרים+5 ו‑ −5▼

   המרחק של (x−2) מ‑0 הוא 5זו המשמעות של |…| = 5

   מקרה א: x − 2 = 5הביטוי בפנים חיובי

   מקרה ב: x − 2 = −5הביטוי בפנים שלילי
3. פותרים כל מקרה בנפרדx = 7 , x = −3▼

   א: x − 2 = 5מוסיפים 2 לשני האגפים

   x = 5 + 2 = 7פתרון ראשון

   ב: x − 2 = −5מוסיפים 2 לשני האגפים

   x = −5 + 2 = −3פתרון שני
4. בודקים בהצבה חזרה✓ ✓▼

   |7 − 2| = |5| = 5 ✓מציבים x = 7

   |−3 − 2| = |−5| = 5 ✓מציבים x = −3

דוגמה פתורה 2 — אי־שוויון: |x − 1| < 4

1. מזהים: „קטן מ־” = קטע אחד−4 < x−1 < 4▼

   |x − 1| < 4המרחק קטן מ‑4

   קטן = קרוב לאפסלכן קטע אחד, לא שני קצוות

   −4 < x − 1 < 4אי־שוויון כפול
2. מבודדים את x−3 < x < 5▼

   −4 < x − 1 < 4המצב הנוכחי

   −4 + 1 < x − 1 + 1 < 4 + 1מוסיפים 1 לשלושת האגפים

   −3 < x < 5קבוצת הפתרון
3. בודקים✓▼

   x = 0 (בתוך): |0 − 1| = 1 , 1 < 4 ✓מקיים

   x = 6 (מחוץ): |6 − 1| = 5 , 5 < 4 ✗לא מקיים — כמצופה

1. סדרה חשבונית — מוסיפים בכל פעם אותו דבר

2. סדרה הנדסית — מכפילים בכל פעם באותו דבר

3. סכום של n אברים

לא מחברים אבר‑אבר — יש נוסחה. שימו לב איזו נוסחה שייכת לאיזו סדרה:

4. אבר כללי וכלל נסיגה — שתי דרכים לתאר סדרה

סדרה אפשר לתת בשתי צורות שונות לגמרי, וחשוב לדעת להבדיל:

איך בודקים אם סדרה שנתונה באבר כללי היא חשבונית? מחשבים a_n+1 − a_n. אם יצא מספר קבוע בלי n — היא חשבונית, וזה ה‑d. אם היחס a_n+1 : a_n קבוע — היא הנדסית.

5. דוגמה פתורה — סדרה חשבונית: 3 , 7 , 11 , …

מצאו את a₁₀ ואת S₁₀. לחצו על כל צעד כדי לפתוח את ההצבה המלאה.

1. מזהים את סוג הסדרהd = 4▼

   3 , 7 , 11 , 15 , …הסדרה הנתונה

   7 − 3 = 4ההפרש בין אבר לקודמו

   11 − 7 = 4אותו הפרש — נבדק שוב

   חשבונית , a₁ = 3 , d = 4הפרש קבוע = חשבונית
2. מחשבים את האבר העשיריa₁₀ = 39▼

   aₙ = a₁ + (n − 1)·dנוסחת האבר הכללי

   a₁ = 3 , d = 4 , n = 10מי זה מי

   a₁₀ = 3 + (10 − 1)·4מציבים

   a₁₀ = 3 + 9·410 − 1 = 9

   a₁₀ = 3 + 369·4 = 36

   a₁₀ = 39האבר העשירי
3. מחשבים את סכום עשרת הראשוניםS₁₀ = 210▼

   Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2נוסחת הסכום

   n = 10 , a₁ = 3 , a₁₀ = 39כולל a₁₀ מצעד 2

   S₁₀ = 10·(3 + 39) / 2מציבים

   S₁₀ = 10·42 / 23 + 39 = 42

   S₁₀ = 420 / 210·42 = 420

   S₁₀ = 210סכום עשרת האברים

6. דוגמה פתורה — סדרה הנדסית: 2 , 6 , 18 , …

מצאו את a₆ ואת S₆.

1. מזהים את סוג הסדרהq = 3▼

   2 , 6 , 18 , 54 , …הסדרה הנתונה

   6 : 2 = 3המנה בין אבר לקודמו

   18 : 6 = 3אותה מנה — נבדק שוב

   הנדסית , a₁ = 2 , q = 3מנה קבועה = הנדסית
2. מחשבים את האבר השישיa₆ = 486▼

   aₙ = a₁ · q⁽ⁿ⁻¹⁾נוסחת האבר הכללי

   a₁ = 2 , q = 3 , n = 6מי זה מי

   a₆ = 2 · 3⁽⁶⁻¹⁾מציבים

   a₆ = 2 · 3⁵6 − 1 = 5

   a₆ = 2 · 2433⁵ = 3·3·3·3·3 = 243

   a₆ = 486האבר השישי
3. מחשבים את סכום ששת הראשוניםS₆ = 728▼

   Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) / (q − 1)נוסחת הסכום ההנדסי

   a₁ = 2 , q = 3 , n = 6מי זה מי

   S₆ = 2·(3⁶ − 1) / (3 − 1)מציבים

   S₆ = 2·(729 − 1) / 23⁶ = 729

   S₆ = 2·728 / 2729 − 1 = 728

   S₆ = 728סכום ששת האברים

7. דוגמה פתורה — סכום אינסופי: 8 , 4 , 2 , 1 , …

1. הטבלה — הכלי שפותר כמעט הכל

לפני שכותבים משוואה, מסדרים את הנתונים בטבלה. שורה לכל גוף או לכל קטע מסלול, ותמיד אותן שלוש עמודות. זו הטבלה הריקה שאתם מעתיקים לדף:

נתון בשאלההנעלם שסימנתםמה שחישבתם מהשניים

איך בונים אותה — שבעה צעדים

1. קוראים עד הסוף ומסמנים את השאלהמה מבקשים?▼

   "באיזה מרחק מ‑A?"לא תמיד מבקשים את הנעלם

   מסמנים את המשפט האחרוןאליו חוזרים בסוף
2. שורה לכל גוף או לכל קטע מסלול2 שורות לרוב▼

   שני רוכבים → שורה לכל רוכבשני גופים

   הלוך וחזור → שורה "הלוך" ושורה "חזור"גוף אחד, שני קטעים

   יצא, עצר, המשיך → שורה לכל קטעגם עצירה היא קטע זמן
3. מסמנים את הנעלם — ורק אחדx או v או t▼

   בבעיות תנועה: כמעט תמיד מהירותמשם נובעים הזמנים

   בבעיות הספק: הזמן של אחד העובדיםומשם הקצב

   שני נעלמים = שתי משוואותאפשר, אבל קשה יותר — עדיף אחד
4. ממלאים רק את מה שנתון במפורששתי עמודות▼

   "המרחק 300 ק״מ" → עמודת הדרךמעתיקים מהשאלה

   "איטי ב‑10 קמ״ש" → v − 10מבטאים בנעלם, לא ממציאים אות חדשה

   תא שאין לו נתון — משאירים ריקלא ממלאים בניחוש
5. מחשבים את העמודה השלישיתחילוק או כפל▼

   דרך = מהירות · זמןאם חסרה הדרך

   זמן = דרך : מהירותאם חסר הזמן — כאן נולדים השברים

   מהירות = דרך : זמןאם חסרה המהירות

   מעתה כל תא בטבלה מלאשניים נתונים, אחד מחושב
6. מוצאים את המשפט שמקשר בין השורותזו המשוואה▼

   "נפגשו" → סכום הדרכים = המרחקמקשר את עמודת הדרך

   "ארך שעה יותר" → הפרש הזמנים = 1מקשר את עמודת הזמן

   "יחד גמרו הכל" → סכום הקצבים = 1בבעיות הספק

   המשפט הזה תמיד מקשר עמודה אחתמצאו איזו — וכתבתם את המשוואה
7. פותרים, פוסלים, ועונים על מה שנשאללא על הנעלם▼

   יצאה ריבועית? שני פתרונותΔ, נוסחת השורשים

   מהירות / זמן שליליים → נפסלים בנימוקבלי נימוק מפסידים נקודות

   חוזרים לצעד 1 ועונים על השאלה עצמהמצאתם v אבל ביקשו זמן? חשבו אותו

אותה טבלה, מלאה — שלושה מקרים

שימו לב: הזמן זהה בשתי השורות, כי הם יצאו באותו רגע. אם אחד יצא חצי שעה מאוחר יותר — לו נכתוב t − 0.5, וזה כל השינוי.

כאן העמודה המחושבת היא הזמן, ולכן מקבלים שברים עם נעלם במכנה. משחררים מכנים וזה הופך לריבועית — זו הסיבה שבעיות תנועה הן המקום שבו דיסקרימיננטה נבחנת בבגרות.

בבעיות תנועה העמודות היו ק״מ, קמ״ש ושעות. כאן אין ק״מ ואין קמ״ש — אז מה נכנס לעמודות? נגזור כל עמודה מהמשפטים עצמם, ולא נקבל אותה כנתון:

1. עמודת "עבודה" — מה בכלל מודדים כאן?1 = הבריכה כולה▼

   "ממלא בריכה"הבריכה היא מה שצריך להשלים — זו העבודה

   נפח הבריכה לא נתון בליטריםוזה לא במקרה — הוא מיותר

   נסמן נפח V ונראה מה קורהקצב I = V/6 , קצב II = V/12

   V/6 + V/12 = V/t → מחלקים ב־VV מצטמצם משני האגפים

   עבודה = 1לכן בוחרים מראש V=1, כלומר "כל הבריכה" = 100%
2. עמודת "קצב" — זו ה"מהירות" של הבעיה1/6 ו־1/12▼

   מהירות = כמה ק״מ בשעה אחתתמיד "לשעה"

   קצב = כמה מהעבודה בשעה אחתאותו תפקיד בדיוק, יחידה אחרת

   "צינור I ממלא בריכה שלמה ב־6 שעות"הנתון במילים

   אז בשעה אחת הוא ממלא 1 : 6 = 1/6 מהבריכהחילוק — בדיוק כמו מהירות = דרך : זמן

   צינור II: 1 : 12 = 1/12 מהבריכה בשעהאותו חישוב

   קצב = עבודה : זמןאותה זהות של הטבלה, בשמות אחרים
3. עמודת "זמן" — מה נתון ומה מחפשים6 , 12 , t▼

   "ב־6 שעות" , "ב־12 שעות"נתונים ישירות — מעתיקים

   שימו לב: אלה זמנים לבד, לא יחדכל שורה מתארת צינור אחד שעובד לבדו

   השאלה מבקשת את הזמן המשותףזה הנעלם t

   צריך שורה שלישית: "יחד"שם יושב t — וזו השורה שהשאלה עליה
4. מה כותבים בשורת "יחד"?הקצבים מתחברים▼

   בשעה אחת שני הצינורות פתוחים בו־זמניתאף אחד לא מחכה

   מה שנכנס לבריכה באותה שעה = מה שכל אחד הכניסכאן החיבור הגיוני

   קצב משותף = 1/6 + 1/12מחברים קצבים

   אבל 6 + 12 = 18 שעות?חסר היגיון — יחד חייבים להיות מהירים יותר

   שעות לא מתחברות. קצבים כן.זו כל בעיות ההספק בשורה אחת

עכשיו, וכל תא מובן מהיכן בא, הטבלה נראית כך:

ומכאן זה חשבון: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4, כלומר 1/t = 1/4 ולכן t = 4 שעות. בדיקת היגיון: 4 קטן מ־6, כמו שצריך.

שורת הזהות היא אותה שורה בדיוק. לכן אם אתם יודעים לפתור בעיות תנועה, אתם כבר יודעים לפתור בעיות הספק — צריך רק לזכור שהעבודה היא 1 ושהקצב הוא 1 : זמן.

נסו: פתחו "תרגול" למטה במצב הלוך וחזור, ציירו את הטבלה הזו על דף עם המספרים החדשים, ורק אז ענו.

2. דוגמה פתורה — פגישה: 180 ק״מ , 40 ו‑50 קמ״ש

שני רוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה. באיזה מרחק מ‑A הם נפגשים?

1. בונים טבלה: דרך = מהירות · זמןt = הזמן עד הפגישה▼

   המרחק בין A ל‑B הוא 180 ק״מהנתון

   רוכב 1: v = 40 , דרך = 40tיוצא מ‑A

   רוכב 2: v = 50 , דרך = 50tיוצא מ‑B באותו רגע

   שניהם נוסעים את אותו זמן tזה מה שהופך את זה למשוואה אחת
2. כותבים את המשוואה40t + 50t = 180▼

   הם נפגשים ⟺ יחד עברו את כל המרחקזה הרעיון כולו

   40t + 50t = 180סכום הדרכים = המרחק

   90t = 180מכנסים

   t = 2 שעותזמן הפגישה
3. עונים על מה שנשאל80 ק״מ מ‑A▼

   השאלה: באיזה מרחק מ‑A נפגשו?לא הזמן — המרחק

   דרך = 40 · 2מהירות רוכב 1 כפול הזמן

   80 ק״מ מ‑Aובדיקה: 50·2 = 100 , ו‑80+100 = 180 ✓

3. דוגמה פתורה — הלוך וחזור: 300 ק״מ , איטי ב‑10 קמ״ש

נהג נסע 300 ק״מ. בדרך חזור נסע במהירות הקטנה ב‑10 קמ״ש, והחזרה ארכה שעה אחת יותר. מה הייתה המהירות בדרך הלוך?

1. מסמנים את הנעלם ובונים טבלהv = המהירות בדרך הלוך▼

   300 ק״מ לכל כיווןהנתון

   הלוך: מהירות v , זמן = 300/vזמן = דרך : מהירות

   חזור: מהירות v−10 , זמן = 300/(v−10)איטי ב‑10 קמ״ש

   החזרה ארכה שעה אחת יותרזה התנאי שייתן את המשוואה
2. כותבים את המשוואה ומשחררים מכניםv² − 10v − 3000 = 0▼

   300/(v−10) − 300/v = 1זמן חזור פחות זמן הלוך = 1

   300v − 300(v−10) = v(v−10)כופלים ב‑v(v−10)

   300v − 300v + 3000 = v² − 10vפותחים סוגריים

   v² − 10v − 3000 = 0משוואה ריבועית
3. פותרים את המשוואה הריבועיתv = 60 , v = −50▼

   a = 1 , b = −10 , c = −3000מי זה מי

   Δ = (−10)² − 4·1·(−3000)מציבים

   Δ = 100 + 12000 = 12100מינוס כפול מינוס = פלוס

   v = (10 ± √12100) / 2 = (10 ± 110) / 2√12100 = 110

   v₁ = 60 , v₂ = −50שני פתרונות מתמטיים
4. פוסלים פתרון — הצעד שמפילים עליוv = 60 קמ״ש▼

   v₂ = −50מהירות שלילית

   מהירות לא יכולה להיות שלילית → נפסלחייבים לנמק, זה נותן נקודות

   בדיקה: 300/60 = 5 שעות הלוךהגיוני

   300/50 = 6 שעות חזור — שעה יותר ✓הפתרון מקיים את הנתון

4. דוגמה פתורה — הספק: 6 שעות ו‑12 שעות

צינור I ממלא בריכה ב‑6 שעות, צינור II ב‑12 שעות. בכמה זמן הם ימלאו אותה יחד?

1. חושבים ב‎‑‎”חלק לשעה”, לא בשעותצינור I: 1/6 לשעה▼

   צינור I ממלא בריכה ב‑6 שעותהנתון

   בשעה אחת הוא ממלא 1/6 מהבריכהזה הקצב — וקצבים מתחברים

   צינור II ממלא ב‑12 שעותהנתון השני

   בשעה אחת: 1/12 מהבריכהאי אפשר לחבר שעות, אפשר לחבר קצבים
2. מחברים את הקצבים1/6 + 1/12 = 1/4▼

   1/6 + 1/12הקצב המשותף לשעה

   2/12 + 1/12 = 3/12מכנה משותף 12

   3/12 = 1/4 מהבריכה בשעהיחד הם מהירים יותר משניהם
3. הופכים את הקצב לזמן4 שעות▼

   ממלאים 1/4 בשעהמסעיף ב

   זמן = 1 : (1/4) = 4הזמן הוא ההופכי של הקצב

   4 שעותשימו לב: פחות מ‑6 — הגיוני

1. איך קוראים נקודה — והמלכודת בסדר

נקודה נכתבת (x , y) — קודם אופקי, אחר כך אנכי. זו הטעות הראשונה שנופלים בה: (3 , 5) ו‑(5 , 3) הן שתי נקודות שונות לגמרי.

2. דוגמה פתורה — שיפוע ומשוואה: A(−2,1) , B(4,4)

1. מחשבים את השיפועm = 1/2▼

   A(−2 , 1) , B(4 , 4)שתי הנקודות הנתונות

   m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)נוסחת השיפוע

   m = (4 − 1) / (4 − (−2))מציבים — חשוב לשמור על הסדר

   m = 3 / 6מחשבים מונה ומכנה

   m = 0.5חיובי → הישר עולה
2. כותבים את משוואת הישרy = 0.5x + 2▼

   y − y₁ = m(x − x₁)הנוסחה — צריך שיפוע ונקודה אחת

   y − 1 = 0.5(x − (−2))מציבים את A ואת m

   y − 1 = 0.5(x + 2)מינוס של מינוס = פלוס

   y − 1 = 0.5x + 1פותחים סוגריים

   y = 0.5x + 2n = 2 — שם הישר חוצה את ציר y
3. בודקים עם הנקודה השנייה✓▼

   מציבים x = 4 במשוואהB צריכה לקיים אותה

   y = 0.5·4 + 2 = 4מחשבים

   התקבל y = 4, בדיוק כמו ב‑B ✓תמיד בודקים בנקודה שלא השתמשנו בה

3. דוגמה פתורה — אמצע ואורך: A(−2,1) , B(4,9)

1. אמצע הקטע — ממצעים כל ציר בנפרדM(1 , 5)▼

   A(−2 , 1) , B(4 , 9)הנקודות

   M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )נוסחת האמצע

   x = (−2 + 4) / 2 = 1ממצעים את ה‑x

   y = (1 + 9) / 2 = 5ממצעים את ה‑y

   M(1 , 5)לא מערבבים בין הצירים
2. אורך הקטע — זה פיתגורסAB = 10▼

   AB² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²נוסחת המרחק = פיתגורס

   AB² = (4 − (−2))² + (9 − 1)²מציבים

   AB² = 6² + 8² = 36 + 64ההפרשים הם הניצבים

   AB² = 100סכום הריבועים

   AB = 10מוציאים שורש — תמיד חיובי
3. למה זה פיתגורס?משולש ישר זווית▼

   ההפרש בין ה‑x הוא ניצב אופקי6 יחידות

   ההפרש בין ה‑y הוא ניצב אנכי8 יחידות

   AB הוא היתרולכן AB² = ניצב² + ניצב²

   אין נוסחה חדשה לזכוררק פיתגורס בשפה של צירים

4. דוגמה פתורה — מקבילים ומאונכים

1. מקבילים — אותו שיפועm₁ = m₂▼

   y = 2x + 5 , y = 2x − 3שני ישרים

   שני השיפועים 2אותו כיוון עלייה בדיוק

   מקבילים — לא ייפגשו לעולםn שונה → זה לא אותו ישר
2. מאונכים — מכפלת השיפועים היא −1m₁ · m₂ = −1▼

   y = 2x + 5שיפוע 2

   m₂ = −1 / m₁ = −1 / 2הופכי ונגדי

   y = −0.5x + nכל ישר כזה מאונך לראשון

   בדיקה: 2 · (−0.5) = −1 ✓זה התנאי
3. למצוא את ה‑n של המאונך דרך נקודהy = −0.5x + 4▼

   רוצים מאונך שעובר דרך P(2 , 3)השיפוע כבר ידוע: −0.5

   3 = −0.5·2 + nמציבים את P במשוואה

   3 = −1 + nמחשבים

   n = 4 → y = −0.5x + 4השיפוע מהתנאי, ה‑n מהנקודה

1. שתי הצורות — מתי כל אחת שימושית

שתי השורות הן אותו מעגל בדיוק. פתחו את הסוגריים בשורה הראשונה ותקבלו את השנייה. לכן אם השאלה נותנת את הצורה הכללית, הסעיף הראשון כמעט תמיד יהיה "מצא מרכז ורדיוס".

2. דוגמה פתורה — השלמה לריבוע: x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0

1. מזהים שזו הצורה הכלליתצריך להשלים לריבוע▼

   x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0הצורה הכללית

   אין סוגריים — אי אפשר לקרוא מרכז ורדיוסצריך להסב לצורת המרכז

   מקבצים: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12כל משתנה בנפרד, המספר לימין

   עכשיו משלימים כל סוגר לריבועזו כל הטכניקה
2. משלימים את ה‑x לריבוע(x − 3)² − 9▼

   x² − 6xהמקדם של x הוא −6

   חצי מ‑(−6) הוא −3לוקחים חצי מהמקדם

   (x − 3)² = x² − 6x + 9פותחים כדי לראות מה נוסף

   x² − 6x = (x − 3)² − 9מחסרים את ה‑9 שהוספנו
3. משלימים את ה‑y לריבוע(y + 2)² − 4▼

   y² + 4yהמקדם של y הוא 4

   חצי מ‑4 הוא 2אותה פעולה

   (y + 2)² = y² + 4y + 4פותחים

   y² + 4y = (y + 2)² − 4מחסרים את ה‑4
4. מרכיבים ומקבלים מרכז ורדיוסO(3 , −2) , R = 5▼

   (x−3)² − 9 + (y+2)² − 4 = 12מציבים את שני ההשלמות

   (x−3)² + (y+2)² = 12 + 9 + 4מעבירים את המספרים לימין

   (x−3)² + (y+2)² = 25מחשבים

   מרכז (3 , −2) , R = √25 = 5שימו לב לסימנים: (y+2)² → b = −2

3. דוגמה פתורה — חיתוך עם הצירים: (x−4)² + (y−3)² = 25

1. חיתוך עם ציר x — מציבים y = 0x = 0 , 8▼

   (x−4)² + (y−3)² = 25המעגל

   על ציר x מתקיים y = 0זו ההגדרה של הציר

   (x−4)² + (0−3)² = 25מציבים y = 0

   (x−4)² + 9 = 25(−3)² = 9

   (x−4)² = 16מעבירים

   x − 4 = ±4 → x = 0 , x = 8שורש → שני פתרונות, תמיד ±
2. חיתוך עם ציר y — מציבים x = 0y = 0 , 6▼

   (0−4)² + (y−3)² = 25מציבים x = 0

   16 + (y−3)² = 25(−4)² = 16

   (y−3)² = 9מעבירים

   y − 3 = ±3 → y = 0 , y = 6שתי נקודות על ציר y
3. מה אומרת התוצאההמעגל עובר בראשית▼

   קיבלנו (0,0) בשני הסעיפיםפעם כ‑x=0 ופעם כ‑y=0

   בדיקה: (0−4)² + (0−3)² = 16 + 9 = 25 ✓מציבים את הראשית במעגל

   המעגל עובר דרך הראשיתוזה בדיוק כשמתקיים a² + b² = R²

4. דוגמה פתורה — משיק בנקודה: P(7,7) על המעגל

1. בודקים שהנקודה על המעגלP(7 , 7) ✓▼

   (x−4)² + (y−3)² = 25 , P(7 , 7)המעגל והנקודה

   (7−4)² + (7−3)² = 3² + 4²מציבים

   = 9 + 16 = 25 ✓שווה בדיוק ל‑R²

   P על המעגלאם היה קטן — בתוך; גדול — מחוץ
2. שיפוע הרדיוס אל Pm = 4/3▼

   הרדיוס מחבר את המרכז O(4,3) עם P(7,7)זה קטע רגיל

   m = (7 − 3) / (7 − 4)נוסחת השיפוע

   m = 4/3שיפוע הרדיוס
3. המשיק מאונך לרדיוסm = −0.75▼

   משיק ⊥ רדיוס בנקודת ההשקהתכונה בסיסית של מעגל

   m_משיק = −1 / (4/3) = −3/4הופכי ונגדי

   m = −0.75זה כל הרעיון של משיק למעגל
4. מוצאים את n ומסיימיםy = −0.75x + 12.25▼

   y = −0.75x + nהשיפוע ידוע

   7 = −0.75·7 + nמציבים את P

   7 = −5.25 + nמחשבים

   n = 12.25 → y = −0.75x + 12.25משוואת המשיק

1. איך בוחרים את היחס — טבלת החלטה

לפני שכותבים משהו, שואלים שתי שאלות: איזו צלע נתונה ואיזו מבוקשת, ביחס לזווית שיש עליה מידע.

2. דוגמה פתורה — זווית 30° ויתר 12

1. מזהים מה נתון ומה מבקשיםיתר ← ניצב▼

   משולש ישר זווית, זווית 30°, יתר 12הנתונים

   מבקשים את הניצב שמול הזוויתהצלע שלא נוגעת בזווית

   מול + יתר → זה סינוסמול/יתר — זו ההגדרה

   sin 30° = מול / יתרבחרנו את היחס הנכון
2. מציבים ומחלצים6▼

   sin 30° = a / 12a הוא הניצב שמול

   0.5 = a / 12sin 30° = 0.5 בדיוק

   a = 0.5 · 12כופלים ביתר

   a = 6הניצב שמול 30° הוא חצי היתר — תמיד
3. הניצב השני — שתי דרכים≈ 10.39▼

   דרך 1: cos 30° = b / 12צמוד/יתר

   b = 12 · 0.866 = 10.39cos 30° ≈ 0.866

   דרך 2: פיתגורס12² − 6² = 144 − 36 = 108

   b = √108 ≈ 10.39שתי הדרכים נותנות אותו דבר — בדיקה חינם

3. דוגמה פתורה — שני ניצבים 6 ו‑8

1. מזהים את שלשת פיתגורס3 : 4 : 5▼

   ניצבים 6 ו‑8הנתונים

   יתר² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100פיתגורס

   יתר = 10שורש

   6 : 8 : 10 = 3 : 4 : 5שלשה מוכרת — כדאי לזכור
2. שלושת היחסים של הזווית α שמול 60.6 , 0.8 , 0.75▼

   α היא הזווית שמול הניצב 6צריך לזהות מי מול מי

   sin α = מול/יתר = 6/10 = 0.6מול הזווית

   cos α = צמוד/יתר = 8/10 = 0.8הניצב השני

   tan α = מול/צמוד = 6/8 = 0.75בלי יתר בכלל
3. בדיקה שאי אפשר לטעות בהsin² + cos² = 1▼

   0.6² + 0.8²מעלים בריבוע ומחברים

   0.36 + 0.64 = 1 ✓זו זהות שתמיד מתקיימת

   אם לא יצא 1 — יש טעותבדיקה של שנייה אחת

4. דוגמה פתורה — שטח וחוק הקוסינוסים

1. שטח עם סינוס — מתי משתמשיםS = ½·a·b·sinC▼

   נתונות שתי צלעות והזווית שביניהןזה התנאי

   a = 8 , b = 10 , C = 30°הנתונים

   S = ½ · 8 · 10 · sin 30°מציבים

   S = ½ · 80 · 0.5מחשבים בשלבים

   S = 20יחידות שטח
2. חוק הקוסינוסים — הצלע השלישיתc = 7▼

   נתון a = 3 , b = 8 , C = 60°שתי צלעות והזווית ביניהן

   c² = a² + b² − 2ab·cosCחוק הקוסינוסים

   c² = 3² + 8² − 2·3·8·cos60°מציבים

   c² = 9 + 64 − 48·0.5cos 60° = 0.5

   c² = 73 − 24 = 49מחשבים

   c = 7שורש — אורך תמיד חיובי
3. למה זה הכללה של פיתגורסC = 90° → cos = 0▼

   c² = a² + b² − 2ab·cosCהחוק הכללי

   אם C = 90° אז cos 90° = 0האיבר השלישי מתאפס

   c² = a² + b²זה בדיוק פיתגורס

   פיתגורס הוא מקרה פרטילא שתי נוסחאות — אחת

1. מה שואלים בכל סוג — טבלת החלטה

2. דוגמה פתורה — תחום הגדרה של שורש: √(2x − 6)

1. שואלים מה אסורמתחת לשורש ≥ 0▼

   f(x) = √(2x − 6)הפונקציה

   שורש של מספר שלילי לא מוגדרזו כל הסיבה למגבלה

   דורשים 2x − 6 ≥ 0אי־שוויון, לא משוואה

   שימו לב ל‑≥ ולא >שורש של 0 מוגדר ושווה 0
2. פותרים את האי־שוויוןx ≥ 3▼

   2x − 6 ≥ 0מה שקיבלנו

   2x ≥ 6מעבירים אגפים

   x ≥ 3מחלקים ב‑2 — חיובי, הסימן לא מתהפך

   תחום ההגדרה: x ≥ 3מחוץ לתחום הפונקציה לא קיימת
3. בודקים בשתי נקודות✓▼

   x = 5: √(10 − 6) = √4 = 2בתוך התחום — עובד

   x = 1: √(2 − 6) = √(−4)מחוץ לתחום

   אין שורש למספר שלילי ✗בדיוק כמו שהתחום אמר

3. דוגמה פתורה — תחום הגדרה של שבר: (x+1)/(x²−9)

1. במכנה — אסור אפסx² − 9 ≠ 0▼

   f(x) = (x + 1) / (x² − 9)הפונקציה

   חילוק באפס לא מוגדרזו המגבלה היחידה בשבר

   דורשים x² − 9 ≠ 0משוואה עם ≠, לא אי־שוויון

   פותרים כאילו זו משוואה, ואז פוסליםהטריק הקטן
2. מוצאים מה אסורx ≠ 3 , x ≠ −3▼

   x² − 9 = 0פותרים כרגיל

   x² = 9מעבירים

   x = ±3שורש → שני פתרונות

   תחום ההגדרה: כל x פרט ל‑3 ול‑(−3)אלה בדיוק הנקודות האסורות
3. ומה עם המונה?אין מגבלה▼

   המונה הוא x + 1פולינום רגיל

   פולינום מוגדר לכל xאין שורש ואין מכנה

   רק המכנה מגביללא מחפשים תחום הגדרה במונה

4. דוגמה פתורה — משוואה עם שורש: √(x+7) = x+1

1. מבודדים את השורש ומעלים בריבועx² + x − 6 = 0▼

   √(x + 7) = x + 1המשוואה

   השורש מבודד — אפשר להעלות בריבועאם לא, קודם מבודדים

   x + 7 = (x + 1)²מעלים שני האגפים בריבוע

   x + 7 = x² + 2x + 1פותחים סוגריים

   x² + x − 6 = 0מסדרים לריבועית
2. פותרים את הריבועיתx = 2 , x = −3▼

   Δ = 1² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25הדיסקרימיננטה

   x = (−1 ± 5) / 2נוסחת השורשים

   x₁ = 2 , x₂ = −3שני מועמדים — עוד לא פתרונות
3. בודקים כל מועמד במשוואה המקוריתx = 2 בלבד▼

   x = 2: √(2+7) = √9 = 3 , וגם 2+1 = 3 ✓מתקיים

   x = −3: √(−3+7) = √4 = 2השורש מוגדר

   אבל האגף הימני: −3 + 1 = −2שלילי

   2 ≠ −2 → x = −3 נפסלשורש תמיד אי־שלילי
4. למה זה קרה בכללהעלאה בריבוע▼

   העלאה בריבוע מוחקת סימנים3 ו‑(−3) מתקבלים לאותו ריבוע

   לכן נוצרים פתרונות זריםלא הייתה טעות בחישוב

   אחרי כל העלאה בריבוע — בדיקה חובהבבגרות נותנים על זה נקודות

1. כלל החזקה — טבלת גזירה

2. דוגמה פתורה — גוזרים: f(x) = x³ − 3x² + 2

1. גוזרים אבר־אברf′ = 3x² − 6x▼

   f(x) = x³ − 3x² + 2הפונקציה

   כלל החזקה: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹החזקה יורדת ב‑1 ומכפילה

   (x³)′ = 3x²3 יורד לפנים, החזקה 2

   (−3x²)′ = −6x2·(−3) = −6

   (2)′ = 0מספר קבוע נעלם

   f′(x) = 3x² − 6xהנגזרת
2. מה הנגזרת בכלל אומרתשיפוע המשיק▼

   f′(x₀) = שיפוע המשיק בנקודה x₀זו המשמעות הגיאומטרית

   f′(1) = 3·1² − 6·1 = −3מציבים x = 1

   בנקודה x=1 הגרף יורד בשיפוע −3שלילי → הפונקציה יורדת שם

3. דוגמה פתורה — משוואת המשיק ב‑x = 1

1. שני דברים למשיק: נקודה ושיפועm = −3▼

   רוצים את המשיק ב‑x = 1הנקודה על הגרף

   m = f′(1) = 3 − 6 = −3הנגזרת בנקודה היא השיפוע

   m = −3חצי מהעבודה
2. מוצאים את ה‑y של נקודת ההשקה(1 , 0)▼

   f(1) = 1³ − 3·1² + 2 = 1 − 3 + 2מציבים בפונקציה המקורית

   f(1) = 0לא בנגזרת!

   נקודת ההשקה: (1 , 0)זו הטעות הנפוצה — להציב בנגזרת
3. מרכיבים את משוואת המשיקy = −3x + 3▼

   y − y₀ = m(x − x₀)משוואת ישר דרך נקודה

   y − 0 = −3(x − 1)מציבים

   y = −3x + 3משוואת המשיק

4. דוגמה פתורה — נקודות קיצון וסוגן

1. קיצון ⟺ הנגזרת מתאפסת3x² − 6x = 0▼

   בנקודת מקסימום או מינימום המשיק אופקישיפוע 0

   משווים f′(x) = 0זה כל התנאי

   3x² − 6x = 0מציבים את הנגזרת

   3x(x − 2) = 0מוציאים גורם משותף
2. פותרים ומקבלים את שיעורי ה‑xx = 0 , x = 2▼

   3x = 0 → x = 0הגורם הראשון

   x − 2 = 0 → x = 2הגורם השני

   שני מועמדים לקיצוןעוד לא יודעים מי מקסימום ומי מינימום
3. קובעים את הסוג לפי סימן הנגזרת0 מקס׳ , 2 מינ׳▼

   f′(−1) = 3 + 6 = 9 > 0לפני x=0 — עולה

   f′(1) = 3 − 6 = −3 < 0בין 0 ל‑2 — יורד

   עולה ואז יורד → x=0 מקסימוםכמו פסגה

   f′(3) = 27 − 18 = 9 > 0אחרי x=2 — עולה

   יורד ואז עולה → x=2 מינימוםכמו עמק
4. מחשבים גם את ה‑y(0,2) , (2,−2)▼

   f(0) = 2מציבים בפונקציה המקורית

   f(2) = 8 − 12 + 2 = −2אותו דבר

   מקסימום (0 , 2) , מינימום (2 , −2)נקודה = זוג שיעורים

ארגז משפטי הזוויות

זוויות

חפיפת משולשים

חפיפה פירושה זהים לגמרי — כל הצלעות וכל הזוויות. כדי להוכיח חפיפה צריך שלושה נתונים, ורק בשלושה צירופים מותרים:

2. הוכחה מלאה — חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא תיכון

1. רושמים את הנתון — בלי לנסח מחדשAB = AC▼

   נתון: המשולש ABC שווה שוקיים, AB = ACמעתיקים מהשאלה

   נתון: AD חוצה את זווית Aנתון שני

   כל נתון הוא שורה בהוכחהעם הנימוק „נתון”

   צריך להוכיח: BD = DCכלומר AD הוא תיכון
2. מחפשים שני משולשים חופפים△ABD ו‑△ACD▼

   BD ו‑DC נמצאות בשני משולשים שוניםזה הרמז

   כדי להוכיח שוויון צלעות — מוכיחים חפיפהזו האסטרטגיה

   המשולשים: △ABD ו‑△ACDל‑AD יש תפקיד בשניהם
3. אוספים שלושה נתונים לחפיפהצ.ז.צ▼

   AB = ACנתון

   ∠BAD = ∠CADהגדרת חוצה זווית

   AD = ADצלע משותפת — תמיד מותר

   צלע, זווית שביניהן, צלע → צ.ז.צהזווית בין שתי הצלעות
4. מסיקים מהחפיפהBD = DC▼

   △ABD ≅ △ACDלפי צ.ז.צ

   BD = DCצלעות מתאימות במשולשים חופפים

   AD הוא תיכון ∎זה מה שהיה צריך להוכיח

1. משפטי המרובעים

2. דוגמה פתורה — קטע אמצעים במשולש

1. מזהים שזה קטע אמצעיםDE קטע אמצעים▼

   D אמצע AB , E אמצע ACשני אמצעים של שתי צלעות

   קטע שמחבר שני אמצעים = קטע אמצעיםזה התנאי, ואין צורך בעוד

   לכן המשפט חלבלי לזהות — אין נימוק
2. שתי מסקנות, לא אחתDE ∥ BC , DE = ½BC▼

   קטע אמצעים מקביל לצלע השלישיתמסקנה ראשונה

   וגם שווה למחציתהמסקנה שנייה

   אם BC = 14 אז DE = 7חצי

   בבגרות שואלים לרוב על שתיהןלא לשכוח את המקבילות
3. הכיוון ההפוך — גם נכוןמקטע לאמצעים▼

   אם קטע יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרתנתון הפוך

   אז הוא חוצה את הצלע השלישיתמשפט הפוך

   שימושי כשצריך להוכיח שנקודה היא אמצעאותו משפט, כיוון אחר

משפטי הדמיון

דמיון ופרופורציה

3. דוגמה פתורה — דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים

1. מוכיחים דמיון — שתי זוויות מספיקות△ADE ~ △ABC▼

   ∠A משותפת לשני המשולשיםאותה זווית ממש

   ∠ADE = ∠ABCזוויות מתאימות בין מקבילים

   שתי זוויות שוות → דמיוןמשפט ז.ז

   △ADE ~ △ABCלדמיון לא צריך צלעות בכלל
2. מוצאים את יחס הדמיוןk = 2▼

   AB = 12 , AD = 6זוג צלעות מתאימות

   k = AB / AD = 12 / 6 = 2היחס

   כל צלע ב‑ABC כפולה מהמתאימה ב‑ADEאותו k לכל הצלעות
3. יחס שטחים — ריבוע היחס4▼

   k = 2יחס האורכים

   יחס שטחים = k² = 4משפט — לא 2!

   אם שטח ADE הוא 5, שטח ABC הוא 20פי 4

   ובכיוון ההפוך — מוציאים שורשיחס שטחים 9 → יחס דמיון 3

3. דוגמה פתורה — דמיון ויחס שטחים

1. מזהים את יחס הדמיוןk = 1.5▼

   △ABC ~ △DEF , AB = 6 , DE = 9הנתונים

   k = DE / AB = 9 / 6יחס בין צלעות מתאימות

   k = 1.5כל צלע ב‑DEF גדולה פי 1.5
2. הצלע המתאימהEF = 12▼

   BC = 8הצלע המתאימה ל‑EF

   EF = BC · k = 8 · 1.5מכפילים ביחס

   EF = 12כל הצלעות באותו יחס
3. יחס השטחים — הטעות הנפוצה2.25▼

   רבים כותבים 1.5 — וזה לא נכוןהשטח לא גדל כמו האורך

   יחס שטחים = k² = 1.5²ריבוע יחס הדמיון

   = 2.25מחשבים

   שטח DEF גדול פי 2.25אורך פי 1.5 → שטח פי 2.25

1. מה מותר לבנות — ומה אסור

2. הוכחה עם ישר עזר — סכום הזוויות במשולש הוא 180°

ההוכחה הקלאסית. שימו לב שהיא מתחילה משום דבר — רק משולש — ובכל זאת מגיעה למשפט.

1. מזהים שחסר קשר בין הנתונים למטרהצריך ישר עזר▼

   רוצים להוכיח: ∠A + ∠B + ∠C = 180°המטרה

   נתון: משולש. וזה הכל.אין מקבילים, אין חפיפה, אין מה להפעיל

   180° מופיע במשפט אחד בלבד — זוויות על ישרזה הרמז

   אז צריך ליצור ישר שהזוויות יונחו עליוכאן נכנסת הבנייה
2. הבנייה — ומה מותר לבנותישר מקביל דרך A▼

   „נעביר דרך A ישר ℓ המקביל ל‑BC”שורה לגיטימית בהוכחה

   בנייה תמיד אפשרית — לא צריך להוכיח אותהדרך נקודה עובר ישר מקביל יחיד

   מותר: מקביל, מאונך, חוצה זווית, תיכון, הארכה, אלכסוןכל אלה קיימים תמיד

   אסור: „נעביר ישר ש...” עם תכונה שצריך להוכיחזו הנחת המבוקש
3. הבנייה יוצרת מקבילים — ומשם זוויותמתחלפות▼

   ℓ ∥ BC והצלע AB חותכת את שניהםזה מה שהבנייה נתנה

   ∠1 = ∠Bזוויות מתחלפות בין מקבילים

   וגם AC חותכת → ∠2 = ∠Cאותו משפט, החותך השני

   הזוויות „עברו” מהמשולש אל הישרזו כל תכליתה של הבנייה
4. סוגרים על הישר180°▼

   ∠1 , ∠A , ∠2 יוצרות יחד את הישר ℓשלושתן על אותו ישר

   ∠1 + ∠A + ∠2 = 180°זוויות על ישר

   מציבים ∠1 = ∠B ו‑∠2 = ∠Cמהשורות הקודמות

   ∠B + ∠A + ∠C = 180° ∎המטרה — דרך ישר שלא היה שם

3. איך מסננים בנק טענות

1. לא כל טענה נכונה שייכת להוכחהשלושה סוגי פסולים▼

   שגויה מתמטית — למשל „חפיפה צ.צ.ז”אין משפט כזה בכלל

   נכונה אבל לא רלוונטית — „רדיוסים במעגל שווים”נכון, אבל אין כאן מעגל

   טענה נכונה, נימוק שגוי∠1 = ∠B „לפי זוויות קודקודיות”

   השלישי הוא המסוכןהטענה נכונה, אז העין מאשרת אותה
2. איך מסננים — שלוש שאלותלכל שורה▼

   1. האם המשפט הזה בכלל קיים?עוברים על ארגז המשפטים

   2. האם התנאים שלו מתקיימים כאן?מקבילים? חפיפה שהוכחה? מעגל?

   3. האם היא מקדמת אותי למטרה?או שהיא סתם נכונה

   שורה שנכשלת באחת מהשלוש — לא נכנסתגם אם היא נכונה
3. הסדר הוא חלק מהתשובהלוגיקה, לא סגנון▼

   „צלעות מתאימות” לפני החפיפה — פסולמסיקים ממה שלא הוכח

   „זוויות מתחלפות” לפני שיש מקבילים — פסולהתנאי של המשפט לא מתקיים עוד

   בנייה — תמיד בתחילת הדרךכל השאר נשען עליה

   כל שורה נשענת רק על מה שמעליהזו ההגדרה של הוכחה

1. דוגמה פתורה — ציונים ברשימה

ציוני חמישה תלמידים בבוחן: 6 , 8 , 8 , 9 , 4.

1. ממוצעx̄ = 7▼

   6 + 8 + 8 + 9 + 4 = 35סכום הנתונים

   x̄ = 35 / 5מחלקים במספר הנתונים

   x̄ = 7הממוצע
2. חציון8▼

   4 , 6 , 8 , 8 , 9קודם ממיינים — תמיד

   n = 5 → המקום ה־3(n + 1) / 2 = 3

   חציון = 8הנתון השלישי ברשימה הממוינת
3. שכיח8▼

   8 מופיע פעמיים , השאר פעם אחתסופרים הופעות

   שכיח = 8הערך הנפוץ ביותר

2. דוגמה פתורה — טבלת שכיחויות

שאלו 20 משפחות כמה ילדים יש להן:

1. ממוצע משוקללx̄ = 1.45▼

   n = 4 + 6 + 7 + 3 = 20מספר הנתונים הוא סכום השכיחויות

   Σx·f = 0·4 + 1·6 + 2·7 + 3·3כל ערך כפול כמה פעמים הופיע

   = 0 + 6 + 14 + 9 = 29סכום כל הנתונים

   x̄ = 29 / 20 = 1.45ממוצע לא חייב להיות ערך אפשרי
2. חציון בעזרת שכיחות מצטברת1.5▼

   n = 20 → המקומות ה־10 וה־11מספר זוגי — שני אמצעיים

   מצטבר: 4 , 10 , 17 , 20עד 0 — 4 נתונים, עד 1 — 10, עד 2 — 17

   המקום ה־10 = 1 , המקום ה־11 = 2ה־10 הוא האחרון של ה־1

   חציון = (1 + 2) / 2 = 1.5ממוצע שני האמצעיים
3. שכיח2▼

   השכיחות הגבוהה ביותר: 7מחפשים בשורת ה־f

   שכיח = 2הערך — לא השכיחות! (לא 7)

3. דוגמה פתורה — סטיית תקן

הנתונים: 2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 9.

1. ממוצעx̄ = 5▼

   2+4+4+4+5+5+7+9 = 40סכום

   x̄ = 40 / 8 = 58 נתונים
2. סוכמים ריבועי סטיותΣ = 32▼

   x − x̄ : −3 , −1 , −1 , −1 , 0 , 0 , 2 , 4המרחק של כל נתון מהממוצע

   (x − x̄)² : 9 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 4 , 16בריבוע — כדי שהסימנים לא יבטלו זה את זה

   Σ(x − x̄)² = 32הסכום
3. שונות ושורשσ = 2▼

   σ² = 32 / 8 = 4השונות — מחלקים ב־n

   σ = √4 = 2סטיית התקן — באותן יחידות כמו הנתונים

1. דוגמה פתורה — שתי קוביות

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שסכומן 8? ומה ההסתברות שלפחות אחת מהן תראה 6?

1. סופרים את כל התוצאות36▼

   6 · 6 = 36לכל תוצאה של הראשונה — 6 של השנייה

   36 זוגות סדורים, כולם שווי הסתברות(2,6) ו־(6,2) הם שני זוגות שונים
2. סכום 85/36 ≈ 0.139▼

   (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)כל הזוגות שסכומם 8

   5 תוצאות מתאימותסופרים

   P = 5/36 ≈ 0.139מתאימות חלקי כל התוצאות
3. לפחות 6 אחד — דרך המשלים11/36 ≈ 0.306▼

   ההפך: אף קובייה לא מראה 6"לפחות אחד" ← משלים

   P(אין 6) = 5/6 · 5/6 = 25/36הקוביות בלתי תלויות — כופלים

   P(לפחות 6 אחד) = 1 − 25/36 = 11/36≈ 0.306

2. דוגמה פתורה — עץ בלי החזרה

בשקית 5 כדורים אדומים ו־3 כחולים. מוציאים שני כדורים בלי החזרה.

1. שני אדומים5/14 ≈ 0.357▼

   P(אדום ראשון) = 5/85 אדומים מתוך 8

   P(אדום שני | אדום ראשון) = 4/7נשארו 4 אדומים מתוך 7

   5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14כופלים לאורך הענף
2. אחד מכל צבע15/28 ≈ 0.536▼

   אדום ואז כחול: 5/8 · 3/7 = 15/56מסלול ראשון

   כחול ואז אדום: 3/8 · 5/7 = 15/56מסלול שני

   15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28שני מסלולים לאותה תוצאה — מחברים
3. בדיקהסכום = 1▼

   שני כחולים: 3/8 · 2/7 = 6/56המסלול האחרון

   20/56 + 30/56 + 6/56 = 1 ✓כל העלים של העץ יחד — תמיד 1

3. דוגמה פתורה — הסתברות מותנית מטבלה

1. הסתברות רגילה0.855▼

   P(עבר) = 171 / 200כל העולם — 200 תלמידים

   = 0.855שורת הסה״כ
2. מותנית: בן, בהינתן שנכשל≈ 0.621▼

   יודעים שנכשל → העולם: 29 תלמידיםעמודת "נכשלו"

   מהם בנים: 18התא המשותף

   P(בן | נכשל) = 18 / 29 ≈ 0.621לא 18/200 ולא 18/90
3. באותה דרך: עבר, בהינתן שהיא בת0.9▼

   העולם: 110 בנותהשורה של בנות

   P(עבר | בת) = 99 / 110 = 0.9מה שאחרי הקו | הוא המכנה

1. דוגמה פתורה — אחוז ומספר אנשים

ציוני 400 תלמידים מתפלגים נורמלית עם μ = 70 ו־σ = 10. כמה תלמידים קיבלו בין 60 ל־90?

1. מתרגמים ציונים לקווי σμ − σ → μ + 2σ▼

   60 = 70 − 10 = μ − σסטיית תקן אחת מתחת

   90 = 70 + 2·10 = μ + 2σשתי סטיות תקן מעל
2. מחברים את הרצועות81.85%▼

   מ־μ−σ עד μ: 34.13%רצועה ראשונה

   מ־μ עד μ+σ: 34.13%רצועה שנייה

   מ־μ+σ עד μ+2σ: 13.59%רצועה שלישית

   34.13 + 34.13 + 13.59 = 81.85%הסכום
3. מאחוז למספר תלמידים≈ 327▼

   400 · 0.8185 = 327.4האחוז מתוך כל התלמידים

   ≈ 327 תלמידיםמספר אנשים — מעגלים לשלם

2. דוגמה פתורה — ציון תקן וטבלה

באותו מבחן (μ = 70 , σ = 10) נועה קיבלה 85. איזה אחוז מהתלמידים קיבלו פחות ממנה? נתון מהטבלה: Φ(1.5) = 0.9332.

1. ציון התקןz = 1.5▼

   z = (x − μ) / σהנוסחה

   z = (85 − 70) / 10 = 15 / 10מציבים

   z = 1.5סטיית תקן וחצי מעל הממוצע
2. קוראים מהטבלה93.32%▼

   Φ(1.5) = 0.9332השטח משמאל ל־z

   93.32% קיבלו פחות מנועהו־6.68% קיבלו יותר

3. דוגמה פתורה — מציאת μ ו־σ

ידוע ש־15.87% מהנבחנים קיבלו פחות מ־58, ו־97.72% קיבלו פחות מ־82. מצאו את μ ואת σ.

1. מזהים את קווי ה־σ58 = μ − σ▼

   15.87% = 50% − 34.13%מתחת ל־μ − σ

   97.72% = 50% + 34.13% + 13.59%מתחת ל־μ + 2σ

   μ − σ = 58 , μ + 2σ = 82שתי משוואות
2. פותריםμ = 66 , σ = 8▼

   (μ + 2σ) − (μ − σ) = 82 − 58מחסירים את המשוואות

   3σ = 24 → σ = 8μ מתבטל

   μ = 58 + 8 = 66מציבים במשוואה הראשונה

1. דוגמה פתורה — פונקציה קדומה דרך נקודה

נתון f(x) = 3x² − 4x + 1. מצאו את הפונקציה הקדומה F שעוברת בנקודה (1 , 5).

1. מוצאים קדומה אבר־אברF = x³ − 2x² + x + C▼

   3x² → 3 · x³/3 = x³החזקה עולה ל־3, מחלקים ב־3

   −4x → −4 · x²/2 = −2x²החזקה עולה ל־2, מחלקים ב־2

   1 → xמספר קבוע מקבל x

   F(x) = x³ − 2x² + x + Cלא שוכחים את C
2. מציבים את הנקודהC = 5▼

   F(1) = 1 − 2 + 1 + C = 5הנקודה (1 , 5) על F

   0 + C = 5מחשבים

   F(x) = x³ − 2x² + x + 5בדיקה: F′(x) = 3x² − 4x + 1 ✓

2. דוגמה פתורה — השטח מתחת לפרבולה

מצאו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x) = −x² + 4 וציר x.

1. נקודות חיתוך עם ציר xx = −2 , x = 2▼

   −x² + 4 = 0 → x² = 4הגבולות הם השורשים

   x = ±2בין השורשים הגרף מעל הציר (a < 0)
2. פונקציה קדומה והצבהS = 32/3 ≈ 10.67▼

   F(x) = −x³/3 + 4xבלי C — הוא מתבטל

   F(2) = −8/3 + 8 = 16/3הגבול העליון

   F(−2) = 8/3 − 8 = −16/3הגבול התחתון

   S = 16/3 − (−16/3) = 32/3 ≈ 10.67עליון פחות תחתון

3. דוגמה פתורה — שטח בין שני גרפים

מצאו את השטח בין y = 2x ל־y = x².

1. נקודות חיתוךx = 0 , x = 2▼

   x² = 2x → x² − 2x = 0משווים את הפונקציות

   x(x − 2) = 0 → x = 0 , 2הוצאת גורם משותף
2. מי למעלההישר▼

   x = 1: ישר 2 , פרבולה 1מציבים נקודה באמצע

   בין 0 ל־2 הישר מעל הפרבולהלכן: ישר פחות פרבולה
3. אינטגרל של ההפרשS = 4/3 ≈ 1.33▼

   S = ∫₀² (2x − x²) dxעליון פחות תחתון

   = [x² − x³/3]₀²פונקציה קדומה

   = 4 − 8/3 − 0 = 4/3≈ 1.33