החליקו למעלה לריל הבא · הקישו בצדדים לדלג · החזיקו לעצירה
בחרו נושא, שחקו עם הגרפים בזמן אמת, ואז נסו את התרגול. חטיבת ביניים, ז׳–ט׳ — 22 נושאים לפי תכנית משרד החינוך, כל אחד עם רילס, הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול בלי סוף.
איך לגרום למחשבון לעבוד בשבילכם: לפתור משוואה ריבועית ומערכת משוואות, לבדוק תשובות, ולא ליפול במלכודות הקלדה במבחן.
המחשבון בודק — את הדרך כותבים על הדף. הרצפים לפי fx-991ES PLUS; בדגמים אחרים המקשים יכולים להיות שונים.
MODE → 5 → 3, מקלידים a, b, c (כל אחד ואז =), ו־= נותן X1 ואז X2. יצא משהו עם i? אין פתרון ממשי.
קודם מסדרים ל־ax + by = c. אחר כך MODE → 5 → 1 וממלאים שתי שורות. משתנה חסר? מקלידים 0.
מקלידים את הביטוי עם X (ALPHA ואז )), לוחצים CALC ומציבים. יצא 0? הפתרון נכון.
בטריגו צריך לראות D בראש המסך. כתוב R? SHIFT → MODE → 3.
(−3)² = 9 אבל −3² = −9. מציבים מספר שלילי? תמיד בסוגריים.
S⇔D מחליף בין 0.333… ל־1/3. תשובה מדויקת עדיפה.
SHIFT → RCL → (−) שומר את התוצאה ב־A. ממשיכים עם A, והתשובה לא מתעגלת בדרך.
SHIFT → 9 → 3 → = → AC מחזיר את כל ההגדרות להתחלה.
הצורה y = ax² + bx + c. שלושה מספרים בלבד קובעים את כל צורת העקומה. גררו אותם וראו מה קורה.
כל מקדם שולט בתכונה אחרת של הפרבולה.
a > 0 → הפרבולה מחייכת (פתוחה למעלה). a < 0 → עצובה (פתוחה למטה). ככל ש-|a| גדול, היא צרה יותר.
מזיז את הקודקוד הצידה יחד עם a. הקודקוד נמצא ב-x = −b ⁄ 2a.
הנקודה שבה הגרף חוצה את הציר האנכי היא בדיוק (0, c).
הקודקוד הוא הנקודה הכי נמוכה/גבוהה. השורשים הם החיתוך עם ציר x — פתרונות המשוואה ax²+bx+c=0.
גררו את הסליידרים והעקומה מגיבה מיד.
כל מושג עם ציור משלו. תסתכלו על התמונה, ואז קראו — ככה זה נכנס.
פונקציה שבה x מופיע בריבוע: y = ax² + bx + c (חייב a ≠ 0). הגרף תמיד נראה כמו קערה או כיפה — צורה שנקראת פרבולה. שימו לב בהנפשה: כש-a חיובי הפרבולה מחייכת, כשהוא שלילי היא עצובה, וככל שהוא גדול יותר היא צרה יותר.
הפרבולה סימטרית — קו אנכי (סגול, מקווקו) חוצה אותה לשני חצאים זהים. הקו הזה עובר דרך הקודקוד — הנקודה הכי נמוכה (או הכי גבוהה).
מציבים את ה-x הזה בפונקציה ומקבלים את ה-y של הקודקוד.
עם ציר y (כתום): מציבים x=0 ומקבלים (0, c) — הכי קל.
עם ציר x (כחול) = השורשים: פותרים ax²+bx+c=0 עם הנוסחה:
הביטוי שמתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה: Δ = b² − 4ac. רק הסימן שלו קובע בכמה נקודות הפרבולה חוצה את ציר x:
נחקור את הפרבולה y = x² − 4x + 3, כלומר a=1, b=−4, c=3. ההנפשה משמאל בונה שלב-שלב בדיוק לפי הצעדים — הצעד שמתבצע כרגע מודגש.
הזינו a=1, b=−4, c=3 בגרף האינטראקטיבי שלמעלה ותראו את אותן נקודות בדיוק.
השורה הראשונה מתרגלת מיומנות בודדת. השורה השנייה — שאלות רב‑סעיפיות שמרכיבות כמה מיומנויות יחד, בסגנון שאלות הבגרות. תקועים? המדריך, ואם צריך הצג פתרון.
מתי ביטוי גדול מ־0 ומתי קטן מ־0? נלמד לפתור, ולראות את קבוצת הפתרון גם על הגרף וגם על ציר המספרים.
פותרים כמעט בדיוק כמו משוואה — עם כלל זהב אחד.
מעבירים אגפים בדיוק כמו במשוואה: 2x > 6, ואז מחלקים ב-2: x > 3.
כפל או חילוק בשלילי הופך את כיוון האי־שוויון. הסבר מלא עם אנימציה — בפאנל שמתחת
בחרו סימן, גררו a,b,c — אזור הפתרון נצבע על הגרף ועל הציר.
הכלל שהכי הרבה נופלים בו. הנה למה הוא נכון — ממש רואים את זה קורה על ציר המספרים.
הביטו: כשמכפילים ב־(−1), כל מספר קופץ לצד השני של האפס — והסדר מתהפך.
קחו 4 > 2 (4 יושב מימין ל-2). עכשיו הכפילו את שניהם ב־(−1): הם משתקפים סביב האפס ל־−4 ו־−2. אבל −4 נמצא עכשיו משמאל ל־−2, כלומר −4 < −2. הסדר התהפך! זה בדיוק כלל ההיפוך.
לא משננים כללים. מציירים את הפרבולה ורואים איפה היא מעל או מתחת לציר x.
כל מצב מתרגל מיומנות אחת. פתרו לפי השיטה — לא מנחשים. תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
ערך מוחלט הוא המרחק מאפס — תמיד אי־שלילי. נלמד את הגרף בצורת V, ואיך פותרים משוואות ואי־שוויונים.
המרחק של מספר מאפס — בלי קשר לסימן.
|−3| = 3 וגם |3| = 3 — שניהם במרחק 3 מאפס.
|5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0. אף פעם לא שלילי.
הפונקציה יורדת עד האפס ואז עולה, עם קודקוד חד.
גררו a, h, k וראו איך ה־V זז ומשנה צורה.
הכלל הזהב: ערך מוחלט פותח לשני מקרים — חיובי ושלילי.
המרחק מ־0 שווה ל־a → יש שתי אפשרויות: x = a או x = −a (כל עוד a ≥ 0).
עם ביטוי בפנים: |x − 2| = 5 → x − 2 = 5 או x − 2 = −5 → x = 7 או x = −3.
קטן מ־ (|x| < a): קרוב לאפס → −a < x < a (הקטע שבין).
גדול מ־ (|x| > a): רחוק מאפס → x < −a או x > a (מחוץ).
לחצו על כל צעד כדי לפתוח את ההצבה המלאה.
כל מצב מתרגל מיומנות אחת. זכרו: ערך מוחלט = מרחק, ותמיד שני מקרים.
רשימת מספרים עם חוק אחד שחוזר. אם מוסיפים בכל פעם את אותו מספר — חשבונית. אם מכפילים בכל פעם באותו מספר — הנדסית.
ההבדל היחיד: מוסיפים או מכפילים.
נקודת ההתחלה של הסדרה. כל השאר נבנה ממנו.
מה שמוסיפים בכל צעד. מוצאים אותו בחיסור: d = a₂ − a₁. חיובי → עולה, שלילי → יורדת.
מה שמכפילים בכל צעד. מוצאים אותו בחילוק: q = a₂ : a₁. גדול מ‑1 → מתפוצצת, בין 0 ל‑1 → מתכווצת.
כמה יוצא אם מחברים את n האברים הראשונים. לכל סוג סדרה יש נוסחת סכום משלה.
בחרו סוג, גררו את המספרים — האברים מצוירים מיד.
כל מושג עם ציור משלו. תסתכלו על התמונה, ואז קראו.
בכל צעד מוסיפים את אותו מספר קבוע, שנקרא הפרש ומסומן d. כדי למצוא אותו — פשוט מחסרים שני אברים סמוכים: d = a₂ − a₁.
שימו לב ל־(n−1) ולא ל־n: כדי להגיע מהאבר הראשון לאבר החמישי עושים 4 קפיצות, לא 5. זו הטעות הכי נפוצה.
בכל צעד מכפילים באותו מספר קבוע, שנקרא מנה ומסומן q. מוצאים אותו בחילוק: q = a₂ : a₁.
גם כאן החזקה היא n−1, מאותה סיבה בדיוק. a₁ = a₁·q⁰ = a₁ — אפס הכפלות.
לא מחברים אבר‑אבר — יש נוסחה. שימו לב איזו נוסחה שייכת לאיזו סדרה:
סדרה אפשר לתת בשתי צורות שונות לגמרי, וחשוב לדעת להבדיל:
איך בודקים אם סדרה שנתונה באבר כללי היא חשבונית? מחשבים an+1 − an. אם יצא מספר קבוע בלי n — היא חשבונית, וזה ה‑d. אם היחס an+1 : an קבוע — היא הנדסית.
מצאו את a₁₀ ואת S₁₀. לחצו על כל צעד כדי לפתוח את ההצבה המלאה.
מצאו את a₆ ואת S₆.
כל מצב מתרגל מיומנות אחת. פתרו עם הנוסחאות — לא בספירה על האצבעות. תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
לתרגם מילים למשוואה. זה הפרק הראשון בשאלון 581 — בעיות תנועה ובעיות הספק — ובדיוק שם המשוואה הריבועית והדיסקרימיננטה נבחנות בפועל.
כל בעיה מילולית כאן נשענת על אחת מהשתיים.
מה שהשאלה מבקשת — או הגודל שכל השאר תלוי בו. כמעט תמיד מהירות או זמן.
שורה לכל גוף או לכל קטע מסלול, עמודה לדרך, למהירות ולזמן. ממלאים שתיים ומחשבים את השלישית. הטבלה המלאה והסבר בנייה
המשפט שמקשר בין השורות: "נפגשו", "ארך שעה יותר", "יחד עשו את הכל". הוא המשוואה.
יוצאת משוואה ריבועית? שני פתרונות. מהירות או זמן שליליים נפסלים, ותמיד מנמקים למה.
שני רוכבים זה לקראת זה. גררו — נקודת החיתוך היא הפגישה.
שלוש דוגמאות פתורות, אחת לכל סוג שמופיע בשאלון. לחצו על כל צעד כדי לראות את ההצבה המלאה.
לפני שכותבים משוואה, מסדרים את הנתונים בטבלה. שורה לכל גוף או לכל קטע מסלול, ותמיד אותן שלוש עמודות. זו הטבלה הריקה שאתם מעתיקים לדף:
| מי / מה | דרך ק״מ | מהירות קמ״ש | זמן שעות |
|---|---|---|---|
| גוף ראשון | |||
| גוף שני |
נתון בשאלההנעלם שסימנתםמה שחישבתם מהשניים
| מי | דרך ק״מ | מהירות קמ״ש | זמן שעות |
|---|---|---|---|
| רוכב 1 | 40t | 40 | t |
| רוכב 2 | 50t | 50 | t |
שימו לב: הזמן זהה בשתי השורות, כי הם יצאו באותו רגע. אם אחד יצא חצי שעה מאוחר יותר — לו נכתוב t − 0.5, וזה כל השינוי.
| קטע | דרך ק״מ | מהירות קמ״ש | זמן שעות |
|---|---|---|---|
| הלוך | 300 | v | 300 / v |
| חזור | 300 | v − 10 | 300 / (v−10) |
כאן העמודה המחושבת היא הזמן, ולכן מקבלים שברים עם נעלם במכנה. משחררים מכנים וזה הופך לריבועית — זו הסיבה שבעיות תנועה הן המקום שבו דיסקרימיננטה נבחנת בבגרות.
בבעיות תנועה העמודות היו ק״מ, קמ״ש ושעות. כאן אין ק״מ ואין קמ״ש — אז מה נכנס לעמודות? נגזור כל עמודה מהמשפטים עצמם, ולא נקבל אותה כנתון:
עכשיו, וכל תא מובן מהיכן בא, הטבלה נראית כך:
| מי | עבודה הבריכה כולה = 1 | קצב חלק מהעבודה לשעה | זמן שעות |
|---|---|---|---|
| צינור I | 1 | 1/6 | 6 |
| צינור II | 1 | 1/12 | 12 |
| יחד | 1 | 1/6 + 1/12 | t |
ומכאן זה חשבון: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4, כלומר 1/t = 1/4 ולכן t = 4 שעות. בדיקת היגיון: 4 קטן מ־6, כמו שצריך.
| תפקיד בטבלה | בעיות תנועה | בעיות הספק |
|---|---|---|
| מה משלימים | דרך ק״מ | עבודה בריכה שלמה = 1 |
| כמה בשעה אחת | מהירות קמ״ש | קצב 1/6 מהבריכה |
| כמה זמן לוקח | זמן שעות | זמן שעות |
| הזהות | דרך = מהירות · זמן | עבודה = קצב · זמן |
שורת הזהות היא אותה שורה בדיוק. לכן אם אתם יודעים לפתור בעיות תנועה, אתם כבר יודעים לפתור בעיות הספק — צריך רק לזכור שהעבודה היא 1 ושהקצב הוא 1 : זמן.
נסו: פתחו "תרגול" למטה במצב הלוך וחזור, ציירו את הטבלה הזו על דף עם המספרים החדשים, ורק אז ענו.
שני רוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה. באיזה מרחק מ‑A הם נפגשים?
נהג נסע 300 ק״מ. בדרך חזור נסע במהירות הקטנה ב‑10 קמ״ש, והחזרה ארכה שעה אחת יותר. מה הייתה המהירות בדרך הלוך?
צינור I ממלא בריכה ב‑6 שעות, צינור II ב‑12 שעות. בכמה זמן הם ימלאו אותה יחד?
בנו טבלה על דף לפני שאתם עונים — זה מה שמייצר את המשוואה. תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
גיאומטריה בשפה של מספרים. נקודה היא זוג, ישר הוא משוואה, ואורך הוא פיתגורס. כל שאלה גיאומטרית הופכת לחשבון.
שתי נקודות — וכל השאר נובע.
כמה הישר עולה על כל צעד ימינה. חיובי → עולה, שלילי → יורד, 0 → אופקי. שמרו על הסדר — אותה נקודה ראשונה במונה ובמכנה.
y − y₁ = m(x − x₁) — שיפוע ונקודה אחת מספיקים. פותחים סוגריים ומקבלים y = mx + n.
M( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 ) — ממצעים כל ציר בנפרד, בלי לערבב.
AB² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² — זה פיתגורס, ההפרשים הם הניצבים.
גררו את A ואת B — הכל מתעדכן מיד.
שלוש דוגמאות פתורות שמכסות את כל הנוסחאות. לחצו על כל צעד.
נקודה נכתבת (x , y) — קודם אופקי, אחר כך אנכי. זו הטעות הראשונה שנופלים בה: (3 , 5) ו‑(5 , 3) הן שתי נקודות שונות לגמרי.
| מה מחפשים | מה צריך | הנוסחה |
|---|---|---|
| שיפוע | שתי נקודות | m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) |
| משוואת ישר | שיפוע + נקודה אחת | y − y₁ = m(x − x₁) |
| אמצע קטע | שתי נקודות | ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2) |
| אורך קטע | שתי נקודות | AB² = Δx² + Δy² |
סרטטו את הנקודות על דף משובץ לפני שאתם מחשבים — זה תופס שגיאות סימן. תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
מעגל הוא כל הנקודות שנמצאות באותו מרחק ממרכז. ברגע שמתרגמים את המשפט הזה לפיתגורס — מקבלים את משוואת המעגל, וכל השאלות הן הצבה.
אותו מעגל אפשר לכתוב בשתי דרכים — אחת קריאה ואחת לא.
המרכז הוא (a , b) והרדיוס R. מלכודת הסימנים: (y + 2)² פירושו b = −2, לא 2.
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 — אין סוגריים, אי אפשר לקרוא מרכז. עוברים לצורת המרכז בהשלמה לריבוע.
מציבים את הנקודה בצד שמאל ומשווים ל‑R²: קטן → בתוך, שווה → על המעגל, גדול → מחוץ.
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. מוצאים את שיפוע הרדיוס, לוקחים הופכי ונגדי, ומציבים את הנקודה.
גררו מרכז ורדיוס — נקודות החיתוך עם הצירים מסומנות.
ההשלמה לריבוע היא הטכניקה היחידה שצריך ללמוד כאן. שאר הסעיפים הם הצבה.
| הצורה | איך היא נראית | מה קל לקרוא ממנה |
|---|---|---|
| צורת המרכז | (x−4)² + (y−3)² = 25 | מרכז (4,3) , R = 5 — מיד |
| הצורה הכללית | x² + y² − 8x − 6y = 0 | שום דבר — צריך השלמה לריבוע |
שתי השורות הן אותו מעגל בדיוק. פתחו את הסוגריים בשורה הראשונה ותקבלו את השנייה. לכן אם השאלה נותנת את הצורה הכללית, הסעיף הראשון כמעט תמיד יהיה "מצא מרכז ורדיוס".
בהשלמה לריבוע — חצי מהמקדם, ואז מחסרים את הריבוע שלו. תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
שלושה יחסים בין צלעות — sin, cos, tan — וכל משולש ישר זווית נפתר. אחר כך מרחיבים לכל משולש עם חוק הקוסינוסים.
רק במשולש ישר זווית, ותמיד ביחס לזווית שבחרתם.
הצלע שמול הזווית הישרה — הארוכה ביותר. היא לא משתנה לפי הזווית שבחרתם.
"מול" = הצלע שלא נוגעת בזווית. "צמוד" = הניצב שכן נוגע בה. שינוי הזווית מחליף ביניהן.
יש יתר ומחפשים ניצב → sin או cos. אין יתר בכלל → tan. זה כל הסוד.
c² = a² + b² − 2ab·cos C, ושטח S = ½·a·b·sin C כששתי הצלעות והזווית ביניהן ידועות.
גררו את הזווית ואת היתר — הצלעות והיחסים מתעדכנים.
המיומנות היחידה שצריך: לבחור את היחס הנכון. שאר החישוב הוא הצבה.
לפני שכותבים משהו, שואלים שתי שאלות: איזו צלע נתונה ואיזו מבוקשת, ביחס לזווית שיש עליה מידע.
| נתון | מבוקש | היחס |
|---|---|---|
| יתר | הניצב שמול | sin |
| יתר | הניצב הצמוד | cos |
| ניצב אחד | הניצב השני | tan |
| שני ניצבים | הזווית | tan (ואז tan⁻¹) |
| שתי צלעות + הזווית ביניהן | הצלע השלישית | חוק הקוסינוסים |
| שתי צלעות + הזווית ביניהן | שטח | S = ½ab·sinC |
סמנו על הציור איזו צלע "מול" ואיזו "צמוד" לפני שבוחרים יחס. תשובות עשרוניות — עגלו ל‑3 ספרות. תקועים? המדריך.
שתי משפחות שבהן לא כל x מותר. השאלה הראשונה תמיד "מה אסור?" — ומשם נגזר תחום ההגדרה, האסימפטוטות, וגם פסילת פתרונות זרים.
כל תחום הגדרה בפרק הזה נובע מאחד מהשניים.
דורשים ביטוי ≥ 0 ופותרים אי־שוויון. שימו לב ל‑≥: שורש של אפס מוגדר.
דורשים מכנה ≠ 0. פותרים כמו משוואה רגילה, ואת מה שיוצא פוסלים.
ב‑(ax+b)/(cx+d): אנכית ב‑x = −d/c (שם המכנה מתאפס), אופקית ב‑y = a/c (יחס המקדמים המובילים).
העלאה בריבוע יכולה להמציא פתרונות שלא היו. אחרי כל העלאה בריבוע — בדיקה במשוואה המקורית.
בחרו סוג, גררו — התחום נצבע והאסימפטוטות מסומנות.
שלוש דוגמאות: שורש, שבר, ומשוואה עם שורש שבה פתרון נפסל.
| הפונקציה | מה דורשים | סוג הפתרון |
|---|---|---|
| √(ביטוי) | ביטוי ≥ 0 | אי־שוויון |
| 1 / (ביטוי) | ביטוי ≠ 0 | משוואה — ואז פוסלים |
| 1 / √(ביטוי) | ביטוי > 0 | אי־שוויון חמור |
| פולינום | אין מגבלה | כל x |
קודם שואלים "מה אסור", ורק אחר כך מחשבים. אחרי העלאה בריבוע — בדיקה. תקועים? המדריך.
הנגזרת היא שיפוע המשיק בכל נקודה. ברגע שיש אותה — אפשר למצוא משיקים, נקודות קיצון, ותחומי עלייה וירידה של כל פונקציה.
כל הפרק נשען על כלל החזקה.
החזקה יורדת ב‑1 ומכפילה את המקדם. (x³)′ = 3x² , (5x)′ = 5 , (7)′ = 0 — מספר קבוע נעלם.
m = f′(x₀). את ה‑y של נקודת ההשקה מקבלים מ‑f(x₀) — מהפונקציה המקורית, לא מהנגזרת.
בקיצון המשיק אופקי, כלומר f′(x) = 0. פותרים, ואז קובעים סוג לפי סימן הנגזרת משני הצדדים.
f′ > 0 → הפונקציה עולה. f′ < 0 → יורדת. הקיצון הוא בדיוק נקודת ההחלפה.
גררו את x₀ — המשיק זז והשיפוע מתעדכן.
אותה פונקציה בשלוש הדוגמאות — f(x) = x³ − 3x² + 2 — כדי לראות איך הכל מתחבר.
| האבר | הנגזרת | למה |
|---|---|---|
| x⁵ | 5x⁴ | החזקה יורדת לפנים |
| 4x³ | 12x² | 3 · 4 = 12 |
| x² | 2x | החזקה 1 לא נכתבת |
| 7x | 7 | x¹ → 1·x⁰ = 1 |
| −9 | 0 | קבוע לא משתנה, שיפוע 0 |
את ה‑y תמיד מ‑f(x), את השיפוע תמיד מ‑f′(x). תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
אוצר המילים של כל הוכחה גיאומטרית. שבעה משפטים — ומהם נגזר כל חישוב זוויות.
כל חישוב זוויות בגיאומטריה נשען על אלה — ורק על אלה.
סכום הזוויות 180°. זווית חיצונית שווה לסכום שתי הרחוקות. בשווה שוקיים — זוויות הבסיס שוות.
זוויות קודקודיות (זו מול זו) שוות. זוויות צמודות (על אותו ישר) משלימות ל‑180°.
מתחלפות שוות, מתאימות שוות, חד־צדדיות משלימות ל‑180°. בלי מקבילות — אין משפט.
גררו שתי זוויות — השלישית והחיצונית נגררות אחריהן.
כל משפט עם דיאגרמה משלו: מה הוא אומר, מתי להשתמש, דוגמה, וטעות נפוצה.
סרטטו וסמנו את הזוויות לפני שמחשבים. תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
שני משולשים זהים לגמרי. שלושה נתונים מוכיחים את זה — אבל רק בשלושה צירופים מותרים, ורביעי שנראה כמו משפט ואינו.
שלוש עמודות, וזה כל הפורמט.
כל נתון מקבל סימון: צלעות שוות בקווים, זוויות שוות בקשתות. מה שלא מסומן — לא קיים.
שוויון צלעות או זוויות → מחפשים משולשים חופפים. יחס בין צלעות → מחפשים משולשים דומים.
לחפיפה צריך שלושה: צ.ז.צ , ז.צ.ז , צ.צ.צ. לדמיון מספיקות שתי זוויות.
"נתון", שם משפט, או "צלע משותפת". שורה בלי נימוק לא נחשבת — גם אם היא נכונה.
שלושת משפטי החפיפה, המסקנה שנובעת מהם, והצירוף הפסול — כל אחד עם דיאגרמה.
חפיפה פירושה זהים לגמרי — כל הצלעות וכל הזוויות. כדי להוכיח חפיפה צריך שלושה נתונים, ורק בשלושה צירופים מותרים:
כל שורה בהוכחה צריכה נימוק מארגז המשפטים. תקועים? המדריך ואז הצג פתרון.
משפחה בנויה כשרשרת: טרפז → מקבילית → מלבן / מעוין → ריבוע. כל שלב מוסיף תכונה ושומר על כל מה שמעליו.
כל שלב מוסיף תכונה אחת — ושומר על כל מה שמעליו.
שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות. מכאן נובע: צלעות נגדיות שוות, זוויות נגדיות שוות, והאלכסונים חוצים זה את זה.
כל התכונות של מקבילית, ובנוסף כל הזוויות 90° והאלכסונים שווים.
כל הצלעות שוות, והאלכסונים מאונכים וחוצים את הזוויות.
אותה צורה בגודל אחר. שתי זוויות שוות מספיקות (ז.ז). אז כל הצלעות ביחס k — והשטחים ביחס k².
גררו את הבסיסים — קטע האמצעים תמיד הממוצע שלהם.
שמונה משפטים, כל אחד עם דיאגרמה.
עברו על השרשרת: אלכסונים שווים = מלבן, מאונכים = מעוין, שניהם = ריבוע.
הכלי שמתרגם יחסים בין צורות למספרים. שתי זוויות מספיקות לדמיון — ומשם הכל נובע מ‑k אחד.
אותה צורה, גודל אחר — וכל המספרים נובעים מיחס אחד.
אין צורך באף צלע. מחפשים זווית משותפת + זווית מזוויות מתחלפות או מתאימות.
מוצאים אותו מזוג צלעות מתאימות. אחר כך כל הצלעות, הגבהים, התיכונים וההיקפים באותו יחס.
ביחס ריבוע יחס הדמיון. ומיחס שטחים חזרה ליחס דמיון — שורש.
ישר מקביל לצלע חותך את השתיים האחרות ביחסים שווים — דרך מקוצרת בלי דמיון מלא.
גררו את k — וראו מה גדל כמו k ומה כמו k².
ארבעה משפטים עם דיאגרמות, ואחריהם שתי דוגמאות פתורות.
תמיד קודם k מזוג צלעות, ואז k² לשטחים. תקועים? המדריך.
כאן בונים הוכחה שלמה מבנק טענות גדול — שחלקו שגוי, חלקו נכון אבל לא רלוונטי, וחלקו נכון עם נימוק שקרי. וגם לומדים את הכלי שחסר בכל הוכחה קשה: ישר עזר.
כשהנתונים לא מגיעים למטרה — או שחסרה בנייה, או שחסר שלב.
כשאין קשר בין הנתון למטרה — יוצרים אותו. מקביל, מאונך, חוצה זווית, תיכון, הארכה או אלכסון. בנייה לא צריכה הוכחה — היא תמיד אפשרית.
כל שורה נשענת רק על מה שמעליה. הסדר הוא חלק מהתשובה, לא סגנון.
שלוש שאלות לכל שורה: המשפט קיים? התנאים שלו מתקיימים כאן? הוא מקדם למטרה? נכשל באחת — יורד.
אסור „נעביר ישר שחוצה את BC” אם בדיוק את זה צריך להוכיח. הבנייה מגדירה, לא מניחה.
אותו משולש, בניות שונות. ראו מה כל אחת נותנת.
הוכחת ישר עזר קלאסית, ואחריה איך לסנן בנק טענות.
| הבנייה | מה היא נותנת מיד | מתי לבחור בה |
|---|---|---|
| ישר מקביל | זוויות מתחלפות ומתאימות | כשצריך להעביר זווית ממקום למקום |
| חוצה זווית | שתי זוויות שוות + צלע משותפת | כשיש שווה שוקיים או צריך חפיפה |
| גובה | זווית 90° ומשולשים ישרי זווית | כשצריך פיתגורס, שטח או טריגו |
| תיכון | שני קטעים שווים | כשצריך אמצע, או קטע אמצעים |
| הארכת קטע | זוויות קודקודיות ומקבילית | בקטע אמצעים ובטרפזים |
| אלכסון | פירוק מרובע לשני משולשים | בכל שאלה על מרובע |
ההוכחה הקלאסית. שימו לב שהיא מתחילה משום דבר — רק משולש — ובכל זאת מגיעה למשפט.
בבנק יש טענות שגויות, טענות נכונות שאינן רלוונטיות, וטענות נכונות עם נימוק שקרי. בדקו כל שורה בשלוש השאלות מההסבר.
"50% הנחה!" נשמע מעולה. אבל על מה? ואחרי זה עוד 20%? מי שמבין אחוזים לא נופל בשום מבצע.
אחוז הוא פשוט "מתוך מאה".
כופלים את הכמות ב־p/100. 25% מ־80 = 80 · 0.25 = 20.
הנחה של 20% משאירה 80% מהמחיר — כופלים ב־0.8. התייקרות של 15% — כופלים ב־1.15.
חלק חלקי שלם, כפול 100. 18 מתוך 24 = 18/24 · 100 = 75%.
בחרו מחיר ואחוז — הנחה או התייקרות — ותראו כמה באמת משלמים.
שלוש שאלות, שלושה מתכונים. כל שאלת אחוזים היא אחת מהן.
בכיתה 30 תלמידים. 40% מהם מגיעים לבית הספר באופניים. כמה תלמידים זה?
אוזניות עולות 250 ₪. יש עליהן 30% הנחה. כמה משלמים?
אחרי הנחה של 20% חולצה עולה 96 ₪. כמה עלתה לפני?
תשובות שאינן שלמות — עגלו ל־2 ספרות אחרי הנקודה. תקועים? המדריך.
משוואה היא מאזניים: מה שבצד שמאל שווה בדיוק למה שבצד ימין. המטרה: להשאיר את x לבד בצד אחד.
כל פעולה — משני הצדדים.
מוסיפים, מחסירים, כופלים או מחלקים — תמיד את שני הצדדים באותו מספר. אחרת המאזניים נופלים.
כדי להיפטר מ־+5 מחסירים 5. כדי להיפטר מ־3x מחלקים ב־3.
אוספים את כל ה־x לצד אחד ואת המספרים לצד השני: 5x − 3 = 2x + 9 → 3x = 12.
בחרו משוואה, ואז נסו לנחש את x. המאזניים יתאזנו רק בתשובה הנכונה.
שלוש משוואות, מהקלה לקשה. אותו רעיון בכולן.
פתרו: 3x + 5 = 20
פתרו: 5x − 3 = 2x + 9
פתרו: 4(x − 2) = 2x + 6
תשובות שאינן שלמות — עגלו ל־2 ספרות אחרי הנקודה. תקועים? המדריך.
מונית, חבילת גלישה, חיסכון לאופניים — כל מה ש"עולה באותו קצב" הוא קו ישר. שני מספרים קובעים הכול.
m קובע כמה תלול, b קובע איפה מתחילים.
בכל צעד אחד ימינה, הקו עולה ב־m (או יורד, אם m שלילי). m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
כשמציבים x = 0 מקבלים y = b. זו נקודת ההתחלה.
מציבים y = 0 ופותרים: 0 = mx + b.
גררו את m ואת b — הקו מסתובב וזז, ומשולש השיפוע מראה כמה עולים בכל צעד.
שלוש שאלות שחוזרות בכל מבחן.
מצאו את השיפוע של הישר שעובר דרך A(1 , 3) ו־B(4 , 9).
מצאו את משוואת הישר דרך A(1 , 3) ו־B(4 , 9).
מצאו את נקודות החיתוך של y = −2x + 6 עם הצירים.
תשובות שאינן שלמות — עגלו ל־2 ספרות אחרי הנקודה (למשל 0.5). תקועים? המדריך.
במשולש ישר־זווית, שלוש הצלעות קשורות בנוסחה אחת. ככה יודעים כמה חוסכים כשחותכים באלכסון.
רק במשולש ישר־זווית. c היא הצלע שמול הזווית הישרה — היתר.
שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה.
הצלע הארוכה, מול הזווית הישרה. c = √(a² + b²).
אם יודעים את c ואת a: b = √(c² − a²). מחסירים, לא מחברים.
שנו את הניצבים — הריבועים על הצלעות גדלים, ושטח הריבוע הגדול תמיד שווה לסכום שני הקטנים.
היתר, ניצב, ושאלה מהחיים.
במשולש ישר־זווית הניצבים הם 6 ו־8. מה אורך היתר?
היתר 13 וניצב אחד 5. מה הניצב השני?
מגרש מלבני 30 מ׳ על 40 מ׳. כמה מטרים חוסכים כשהולכים באלכסון במקום לאורך הצלעות?
תשובות שאינן שלמות — עגלו ל־2 ספרות אחרי הנקודה (למשל 7.07). תקועים? המדריך.
מינוס 5 מעלות בחרמון, קומה מינוס 2 בחניון, מינוס 30 שקל בחשבון. מספרים שליליים הם לא באג — הם חצי מהציר.
ציר המספרים הוא המפה.
מספר חיובי — ימינה, שלילי — שמאלה. −3 + 5 = 2.
מחסירים מספר? מוסיפים את הנגדי שלו. 4 − (−6) = 4 + 6 = 10.
סימנים שווים — חיובי, סימנים שונים — שלילי. (−3) · (−4) = 12, (−3) · 4 = −12.
בחרו מספר התחלה ופעולה — החץ קופץ על הציר ומראה איפה נוחתים.
שלוש פעולות, כלל אחד לכל אחת.
בבוקר היו −4°. עד הצהריים התחמם ב־7 מעלות. כמה מעלות בצהריים?
חשבו: −2 − (−9)
חשבו: −5 + (−2) · (−6)
כותבים מינוס עם המקש −. תקועים? המדריך.
חזקה היא קיצור לכפל חוזר. ובגלל שהיא גדלה כל כך מהר, היא מסבירה איך סרטון אחד הופך לוויראלי.
בסיס, מעריך, ושלושה חוקים שחוסכים חישובים.
2³ · 2⁴ = 2⁷. שלוש שתיים ועוד ארבע שתיים — שבע שתיים.
5⁶ / 5² = 5⁴. שתי חמישיות מתקצרות.
(3²)³ = 3⁶. ובונוס: a⁰ = 1 — תמיד.
שנו בסיס ומעריך — העמודות מראות כמה מהר זה מתפוצץ.
מחשבים, מצמצמים, ולא נופלים.
חשבו: 3⁴
כתבו כחזקה אחת: 2⁵ · 2³ / 2⁴
כתבו כחזקה אחת: (5²)³
בשאלות "חזקה אחת" כותבים רק את המעריך. תקועים? המדריך.
כשיש שני דברים שלא יודעים — צריך שני רמזים. כל רמז הוא קו ישר, והתשובה היא המקום שבו הם נפגשים.
הצבה או השוואת מקדמים — שתיהן מגיעות לאותה נקודה.
מבודדים נעלם אחד ומציבים במשוואה השנייה: y = 2x + 1 → x + (2x + 1) = 7.
מחברים או מחסירים את המשוואות כך שנעלם אחד נעלם: (x + y) + (x − y) = 2x.
כל משוואה היא ישר. נקודת החיתוך היא הפתרון. ישרים מקבילים — אין פתרון.
שני ישרים — גררו את השיפועים ואת נקודות ההתחלה, והנקודה הכתומה היא פתרון המערכת.
שתי שיטות ושאלה מילולית.
פתרו: y = 2x + 1 , x + y = 7
פתרו: x + y = 10 , x − y = 4
2 פיצות משפחתיות ו־3 שתייה עולות 90 ₪. פיצה אחת ושתייה אחת — 40 ₪. כמה עולה כל אחד?
בכל שאלה מוצאים גם x וגם y. תקועים? המדריך.
נוסחאות הכפל המקוצר הן כמו קיצורי מקלדת: אפשר בלעדיהן, אבל למה לסבול? ופירוק לגורמים הוא אותו דבר — בכיוון ההפוך.
אותן שלוש, בשני הכיוונים.
(a + b)² = a² + 2ab + b². ה־2ab הוא החלק שכולם שוכחים.
(a + b)(a − b) = a² − b². ככה 21 · 19 = 400 − 1 = 399 בראש.
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3): מחפשים שני מספרים שסכומם 5 ומכפלתם 6.
ריבוע בצלע a + b, מחולק לארבעה חלקים. שנו את a ואת b ותראו מאיפה בא ה־2ab.
פותחים, מחשבים בראש, ומפרקים.
פתחו: (x + 3)²
חשבו בלי מחשבון: 32 · 28
פתרו: x² − x − 12 = 0
שורשים או גורמים — אפשר בכל סדר. תקועים? המדריך.
אותם מספרים, אותם סימנים — ושתי תשובות שונות. סדר הפעולות הוא החוק שמחליט מי מנצח.
מלמעלה למטה, כל פעם שלב אחד.
(2 + 3) · 4 = 20, אבל 2 + 3 · 4 = 14.
2 · 3² = 2 · 9 = 18 — החזקה שייכת רק ל־3.
7 · 98 = 7 · 100 − 7 · 2 = 686 — חשבון בראש בלי מחשבון.
שנו את המספרים וראו כמה זוג סוגריים משנה.
שלושה ביטויים, סדר אחד.
חשבו: 20 − 3 · 4
חשבו: (6 − 2)² + 5 · 3
חשבו בראש: 6 · 103
חשבו בלי מחשבון. תקועים? המדריך.
x הוא מקום שמור למספר. ברגע שמבינים את זה, אפשר לכתוב כלל אחד במקום אלף חישובים.
משתנה, כינוס, פתיחת סוגריים.
כש־x = 4: 3x − 5 = 3 · 4 − 5 = 7.
2x + 5 + 3x − 1 = 5x + 4 — x־ים עם x־ים.
הסדרה 5, 8, 11, … היא 3n + 2 — ואז האיבר ה־100 הוא 302.
בחרו כלל a · n + b ומקום בסדרה — העמודות הן האיברים.
מציבים, מכנסים, פותחים סוגריים.
מה ערך 4x + 7 כאשר x = −3?
פשטו: 3(2x − 4) + x + 5
מה האיבר ה־n בסדרה 4, 9, 14, 19, …?
מספר שלילי כותבים עם מינוס. תקועים? המדריך.
צבע לקיר, דשא לחצר, גדר מסביב. שטח הוא מה שבפנים, היקף הוא מה שמסביב.
כולן יוצאות מהמלבן.
S = a · h / 2. הגובה מאונך לבסיס.
מקבילית: a · h. טרפז: (a + b) · h / 2.
שטח π · r², היקף 2 · π · r. π ≈ 3.14.
בחרו צורה ושנו בסיס וגובה — השטח מתעדכן.
בוחרים נוסחה, מציבים, לא שוכחים יחידות.
משולש שבסיסו 10 ס״מ וגובהו 7 ס״מ. מה השטח?
טרפז שבסיסיו 12 ו־6 ס״מ וגובהו 5 ס״מ.
עיגול שרדיוסו 5 ס״מ. מה השטח ומה ההיקף?
בשאלות עם π כותבים רק את המספר שלפני π. תקועים? המדריך.
קו ישר הוא 180°. משולש הוא 180°. כמעט כל שאלת זוויות נפתרת משני המשפטים האלה.
מעלות מסתתרות בכל מקום.
זוויות צמודות — יחד 180°. זוויות קודקודיות — שוות.
שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
שתי זוויות הבסיס שוות. בין ישרים מקבילים — זוויות מתאימות ומתחלפות שוות.
שנו שתי זוויות — השלישית והחיצונית מסתדרות לבד.
משלימים ל־180, בכל פעם מזווית אחרת.
במשולש זוויות של 48° ו־75°. מה השלישית?
במשולש ABC: ∢A = 40°, ∢C = 65°. מה הזווית החיצונית ליד B?
זווית הראש 36°. מה כל זווית בסיס?
כותבים רק את המספר, בלי סימן המעלות. תקועים? המדריך.
מכניסים מספר, יוצא מספר אחד. טבלה, גרף וכלל — שלוש דרכים לתאר את אותה מכונה.
x נכנס, y יוצא.
f(x) = 2x + 1 → f(3) = 7. כל x מקבל y אחד בלבד.
בכמה y משתנה כש־x גדל ב־1. קצב קבוע — הגרף ישר.
קצב חיובי — הפונקציה עולה. שלילי — יורדת. אפס — קבועה.
קבעו נקודת התחלה וקצב — הגרף והטבלה משתנים יחד.
מהכלל למספר, ומהטבלה לכלל.
f(x) = −2x + 5. מה f(−3)?
x: 0, 2, 4, 6 · y: 1, 7, 13, 19. מה הקצב?
f(x) = 4x − 3. עבור איזה x יוצא 9?
מספר שלילי כותבים עם מינוס. תקועים? המדריך.
"לפחות", "לכל היותר", "יותר מ־" — החיים מלאים באי־שוויונות. והפתרון הוא טווח של מספרים.
פותרים כמו משוואה, עם מלכודת אחת.
מוסיפים, מחסירים, מחלקים — אותו דבר בשני האגפים.
מחלקים במספר שלילי — הופכים את הסימן: −2x < 6 → x > −3.
בסימן < או > הגבול לא נכלל (עיגול ריק), בסימן ≤ או ≥ הוא נכלל (עיגול מלא). החץ מצביע לכיוון הפתרונות.
שנו את המקדם של x — כשהוא שלילי, החץ מתהפך.
פותרים, ובודקים עם מספר מהפתרון.
פתרו: 3x + 4 < 19
פתרו: −2x + 1 ≥ 9
כרטיס עולה 25 ₪ וכל מתקן 8 ₪. כמה מתקנים לכל היותר עם 100 ₪?
כותבים את המספר שבגבול. תקועים? המדריך.
מתכון לשישה במקום לארבעה, מפה, חלוקת כסף — כולם אותו רעיון: יחס שנשמר.
מה נשמר כשמשהו משתנה?
120 ₪ ביחס 1 : 3: ארבעה חלקים של 30 — 30 ₪ ו־90 ₪.
ב־1 : 50,000 כל ס״מ במפה הוא חצי ק״מ.
פי 2 עובדים — פי 2 פחות זמן. המכפלה נשארת קבועה.
בחרו סכום ויחס — הפס מתחלק לחלקים שווים.
בכל שאלה: מה החלק האחד?
מחלקים 84 ₪ ביחס 3 : 4.
במפה 1 : 200,000 המרחק 6 ס״מ. כמה ק״מ במציאות?
4 צבעים צובעים ב־6 ימים. כמה ימים ל־3 צבעים?
תשובה עשרונית כותבים עם נקודה. תקועים? המדריך.
ממוצע, חציון, שכיח — שלוש דרכים לומר "מה הערך הרגיל" ולכל אחת יש מלכודת.
מה אומר כל מדד?
סכום הנתונים חלקי מספרם. ציון קיצוני אחד מזיז אותו הרבה.
מסדרים — ולוקחים את האמצעי. ציון קיצוני כמעט לא מזיז אותו.
שכיח — מה שמופיע הכי הרבה. טווח — הגדול פחות הקטן.
שנו חמישה ציונים — קו הממוצע זז, והחציון לפעמים בכלל לא.
מחשבים, ושואלים מה זה אומר.
ציונים: 80, 65, 90, 75, 70. מה הממוצע?
נתונים: 7, 3, 9, 4, 12, 5. מה החציון?
ממוצע 5 מבחנים הוא 80. ציון שישי: 92. מה הממוצע החדש?
חציון יכול לצאת חצי — כותבים עם נקודה. תקועים? המדריך.
הסתברות היא מספר בין 0 ל־1: 0 — אף פעם, 1 — תמיד. וכמעט הכול בחיים נמצא באמצע.
סופרים תוצאות.
בשקית 3 כחולים ו־5 סגולים: P(כחול) = 3/8.
P(לא A) = 1 − P(A) — לפעמים הרבה יותר קל לחשב.
עם החזרה — כופלים הסתברויות קבועות. בלי החזרה — השקית משתנה אחרי כל הוצאה.
הוסיפו כדורים — ההסתברות מתעדכנת.
במונה הרצויות, במכנה כל האפשרויות.
מה ההסתברות לקבל מספר גדול מ־4 בקובייה?
בשקית 2 כחולים ו־3 סגולים. מוציאים, מחזירים ושוב. P(שניהם כחולים)?
אותה שקית, בלי להחזיר. P(שניהם כחולים)?
כותבים מונה ומכנה — לא חייבים לצמצם. תקועים? המדריך.
ריבוע ששטחו 49 — מה אורך הצלע? השורש עונה. ולפעמים התשובה היא מספר שהספרות שלו לא נגמרות לעולם.
השורש הפוך לריבוע.
√49 = 7 כי 7 · 7 = 49. השורש תמיד אי־שלילי.
x² = 25 → x = 5 או x = −5.
√2 ≈ 1.41421… — הספרות לא נגמרות ולא חוזרות. אפשר רק להעריך: √50 בין 7 ל־8.
בחרו שטח — הצלע היא השורש שלו.
מחשבים, מעריכים, פותרים.
בין אילו מספרים שלמים נמצא √70?
פתרו: x² = 144
חשבו: √3 · √27
תקועים? המדריך מזכיר את הריבועים עד 15.
כמה מים באקווריום, כמה נייר לעטיפת מתנה. נפח זה מה שממלא, שטח פנים זה מה שעוטף.
כולם: שטח הבסיס כפול הגובה.
V = a · b · c. שטח פנים: 2(ab + bc + ac).
שטח הבסיס (משולש, מלבן…) כפול אורך המנסרה.
V = π · r² · h — עיגול כפול גובה.
שנו אורך, רוחב וגובה — הנפח ושטח הפנים מתעדכנים.
בסיס, גובה, יחידות.
תיבה 6 × 4 × 5 ס״מ.
פחית ברדיוס 3 ס״מ וגובה 10 ס״מ.
קופסה 5 × 3 × 2 ס״מ. כמה נייר עטיפה?
בגליל כותבים רק את המספר שלפני π. תקועים? המדריך.
צילום מוגדל, דגם של בניין, צל של עץ. אותה צורה בדיוק — כל הצלעות גדלו פי אותו מספר.
יחס הדמיון k קובע הכול.
כל צלע במשולש הגדול = k כפול הצלע המתאימה בקטן. הזוויות שוות.
גם ההיקף גדל פי k.
פי 2 בצלעות — פי 4 בשטח. המלכודת הכי נפוצה בדמיון.
שנו את יחס הדמיון — ראו מה קורה לצלעות, להיקף ולשטח.
מוצאים את k, ומשתמשים בו.
במשולש קטן צלעות 4 ו־6. בגדול, הצלע שמתאימה ל־4 היא 10. מה מתאים ל־6?
שטח משולש 9 סמ״ר. משולש דומה ביחס 3. מה שטחו?
מקל 1 מ׳ מטיל צל 1.5 מ׳. עץ מטיל צל 9 מ׳. מה גובהו?
תשובה עשרונית כותבים עם נקודה. תקועים? המדריך.
כדור שנזרק, מזרקה, קשת של גשר — כולם פרבולות. בכיתה ט׳ לומדים לקרוא אותן: קודקוד, נקודות אפס, ציר סימטריה.
מההזזה לקודקוד.
ב־y = a(x − p)² + k הקודקוד הוא (p , k). a > 0 — מינימום, a < 0 — מקסימום.
פירוק: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) → x = 2 או x = 3.
עובר באמצע בין נקודות האפס — ושם גם הקודקוד.
הזיזו את הפרבולה ומתחו אותה — הקודקוד והציר זזים איתה.
קודקוד, נקודות אפס, ציר.
מהו קודקוד y = 2(x + 3)² − 5?
פתרו: x² + 2x − 8 = 0
לאותה פרבולה: מהו ציר הסימטריה ומה הקודקוד?
מספר שלילי כותבים עם מינוס. תקועים? המדריך.
בכיתה ט׳ מפסיקים למדוד ומתחילים להוכיח. כל מרובע הוא משפחה של תכונות, ומכל תכונה אפשר לבנות שרשרת של נימוקים.
הגדרה, תכונות, דרכי זיהוי.
שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש ומאונך לאלכסון השני.
צלעות נגדיות שוות ומקבילות, והאלכסונים חוצים זה את זה. מלבן — גם האלכסונים שווים. מעוין — גם מאונכים. ריבוע — הכול.
קטע האמצעים בטרפז: (a + b) / 2. ובהוכחה על דרך השלילה מניחים את ההפך ומגיעים לסתירה.
בחרו מרובע והזיזו אותו — התכונות נבדקות על השרטוט עצמו.
חישוב מתוך תכונות, ושרשרת נימוקים.
בדלתון ABCD (AB = AD, CB = CD): ∢A = 70°, ∢C = 50°. מה גודל ∢B?
ABCD מקבילית, O נקודת המפגש של האלכסונים. הוכיחו: AO = OC.
אלכסוני מעוין הם 12 ו־16. מה אורך הצלע, ומה השטח?
ב"איזה נימוק?" בוחרים אחת משלוש האפשרויות. תקועים? המדריך.